关于求解某数所有因子欧拉函数的复杂性分析

【命题】

对于给定数 (n) ，求解其所有因子的欧拉函数值

本文不讨论朴素做法，仅讨论两种较为常用的求解方法

---

【法一】

根据公式 (displaystyle oldsymbol varphi(n)=nprod_{i=1}^m (1-{1over p_i}))，其中 (displaystyle n=prod_{i=1}^m p_i)

对于 (n) 的每个因子 (d) ，暴力查询 (sqrt d) 范围内的质因子，并筛除

最后核验 (d) 是否存在大于 (sqrt d) 的质因子，若存在，则再计算该质因子贡献

复杂度为 (O(sqrt d))

int phid=d;
for(int i=2;i*i<=d;++i) if(d%i==0) {
    while(d%i==0) d/=i;
    phid=phid/i*(i-1);
}
if(d>1){
    phid=phid/d*(d-1);
}

复杂度计算时，考虑 (n) 不大于 (sqrt n) 的因子最多 (sqrt n) 个，故不小于 (sqrt n) 的因子与之成对出现，也不超过 (sqrt n) 个

故每当出现 (n) 一个不大于 (sqrt n) 的因子 (d) 时，我们对称考虑与它成对出现的因子 ({nover d})

(displaystyle quad T(n))

(displaystyle leqsum_{d=1}^{sqrt n}(sqrt d+sqrt {nover d}))

(displaystyle =O(int_1^{sqrt n}sqrt x ext dx)+sqrt ncdot O(int_1^{sqrt n}{1over sqrt x} ext dx))

(displaystyle =O(x^{3over 2}|_1^{sqrt n})+sqrt ncdot O(x^{1over 2}|_1^{sqrt n}))

(displaystyle =O(n^{3over 4})+O(n^{3over 4}))

(displaystyle =O(n^{3over 4}))

---

【法一优化】

由于复杂度计算时，不难发现，小于 (sqrt n) 部分的因子和大于 (sqrt n) 部分的因子复杂度贡献均为 (O(n^{3over 4}))

根据质数定理的推论，(n) 范围内质数个数大约为 ({nover ln n})

故计算 (n) 的欧拉函数，仅需枚举 (sqrt n) 范围内的质数，复杂度为 (O({sqrt nover lnsqrt n})=O({sqrt nover log n}))

总求解复杂度如下：

(displaystyle quad T(n))

(displaystyle leq sum_{d=1}^{sqrt n}({sqrt dover ln sqrt d}+{sqrt{nover d}over ln sqrt{nover d}}))

(displaystyle =O(int_1^{sqrt n}{2sqrt xover ln x} ext dx)+O(int_1^{sqrt n}{2sqrt {nover x}over ln {nover x}} ext d{nover x}))

(displaystyle =2cdot O({1over 3}cdot int_1^{sqrt n} { ext dx^{3over 2}over ln x^{3over 2}}))

(displaystyle =O(Li(({sqrt n})^{3over 2})))

(displaystyle =O(Li(n^{3over 4})))

由于 (displaystyle lim_{n o +infty} {Li(n)over ({nover ln n})}=1)

故 (displaystyle T(n)=O({n^{3over 4}over ln n^{3over 4}})=O({n^{3over 4}over log n}))

若额外考虑打出 (m) 范围内的欧拉函数值，显然 (mleq sqrt n) 时，对渐进复杂度无影响

当 (m>sqrt n) 时，第二部分求解 ({nover d}) 时，上界修改为 ({nover m})

故求解复杂度优化为 (displaystyle O(m+{({nover m})^{3over 2}over log {nover m}}))，其中 (O(m)) 为欧拉筛复杂度

由于欧拉筛往往被视为预处理，当计算上述结果 (k) 次时，每次的均摊复杂度为 (displaystyle O({mover k}+{({nover m})^{3over 2}over log {nover m}}))

由均值不等式，当且仅当 (displaystyle {mover k}={({nover m})^{3over 2}over log {nover m}}) ，即约为 (m=k^{2over 5}cdot n^{3over 5}) 时取最小

此时均摊复杂度约为 (displaystyle O({mover k})=O(({nover k})^{3over 5})) 达到最小

总复杂度约为 (displaystyle kcdot O({mover k})=O(k^{2over 5}cdot n^{3over 5}))

(k=1) 时取 (m=n^{3over 5}, T(n)approx O(n^{3over 5}))

---

【法二】

考虑 (n) 的不同质因子数目，最坏情况下为 (o(log n)) 的

(ngeq 2cdot 3cdot 5cdot 7cdots p_m>2cdot 2cdot 2cdot 2cdots 2=2^m o m<log n)

但均摊意义下，(n) 的不同质因子数目为 (displaystyle {1over n}sum_{i=1}^infty lfloor{nover p_i} floor)

由埃氏筛的复杂性可得，均摊意义下，不同质因子数目为 (O(log log n))

由于枚举 (n) 的所有因子时，其不同质因子均为 (n) 的不同质因子

故考虑先打出 (n) 的所有不同质因子，方法如上，复杂度为 (O(sqrt n)) 或 (O({sqrt nover log n}))

后续枚举 (n) 的因子时，同样成对枚举，并只使用该 (o(log n)) 数量级的不同质因子去通过公式 (displaystyle oldsymbol varphi(n)=nprod_{i=1}^m (1-{1over p_i})) 计算欧拉函数值

该部分复杂度为 (O(sqrt n)cdot o(log n)=o(sqrt nlog n))

总复杂度为 (O(sqrt n)+o(sqrt nlog n)=o(sqrt nlog n)) 或 (O({sqrt nover log n})+o(sqrt nlog n)=o(sqrt nlog n))

同理，均摊意义下为 (O(sqrt nloglog n))

vector<int> divi;
inline void divit(int n){
    divi.clear();
    for(int i=2, I=sqrt(n)+1e-6;i<=I;++i) if(n%i==0) {
        while(n%i==0) n/=i;
        divi.push_back(i);
    }
    if(n>1)
        divi.push_back(n);
}
inline int phi(int n){
    int res=n;
    for(auto p : divi)
        if(n%p==0)
            res=res/p*(p-1);
    return res;
}

---

【总结】

关于法二与法一的复杂度比较，这里给出计算：

1. 对于未优化的法一，若法二更优，则 (sqrt nlog nleq n^{3over 4})，得出 (log nleq n^{1over 4})

由牛顿迭代计算得 (ngeq 5503.6646890767315) 。故在复杂度允许范围内，法二是普遍更优的

2. 对于预处理质数的法一，若法二更优，则 (sqrt nlog nleq {n^{3over 4}over log n})，得出 (log nleq n^{1over 8})

由牛顿迭代计算得 (ngeq 214910065295.76816approx 2^{31}) 。故在 int 范围内，预处理质数的法一更优；int 边界时，两者复杂度相差较小；int 范围以外，法二更优

3. 对于预处理欧拉函数的法一，考虑 (k) 远小于 (n) 时，若法二更优，则 (sqrt nlog nleq n^{3over 5})，得出 (log nleq n^{1over 10})

由牛顿迭代计算得 (ngeq 3430631121407792.0approx 3.4 imes 10^{15}) 。故在复杂度允许的范围内，预处理欧拉函数的法一是普遍更优的

4. 对于均摊意义下的法二与预处理欧拉函数的法一，考虑 (k) 远小于 (n) 时，若法二更优，则 (sqrt nloglog n leq n^{3over 5})，得出 (log log nleq n^{1over 10})

这个等式是恒成立的。故在均摊意义下，法二快于法一。

---

【附录】

给出 (n) 以内不同质因子个数 (m) 的范围：

(n)	(10^1)	(10^2)	(10^3)	(10^4)	(10^5)	(10^6)	(10^7)	(10^8)	(10^9)	(10^{10})	(10^{11})	(10^{12})	(10^{13})	(10^{14})	(10^{15})	(10^{16})	(10^{17})	(10^{18})	(10^{19})
(m)	(2)	(3)	(4)	(5)	(6)	(7)	(8)	(8)	(9)	(10)	(10)	(11)	(12)	(12)	(13)	(13)	(14)	(15)	(15)

可以发现，在复杂度允许范围内，答案与 (lg n) 较为接近