剑指Offer_#47_礼物的最大价值

剑指Offer_#47_礼物的最大价值

剑指offer

Contents

• • 题目
  • 思路分析
    • 动态规划解析
  • 解答
    • • 复杂度分析

题目

在一个 m* n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？
示例 1:

输入: 
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]

输出: 12
解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物

提示：
0 < grid.length <= 200
0 < grid[0].length <= 200

思路分析

非常典型的动态规划问题。求的是路径和最大的值。整体问题是到以右下角元素end为终点的最大路径和，可以分解为两个子问题：

• 以end上边的元素为终点的最大路径和
• 以end左边的元素为终点的最大路径和

在上述两个值当中选较大者，和end元素本身的值相加，就是总体的最大路径和。

动态规划解析

状态定义：
设动态规划矩阵 dp,dp(i,j) 代表从棋盘的左上角开始，到达单元格 (i,j)时能拿到礼物的最大累计价值。
转移方程：

初始状态：
dp[0][0] = grid[0][0]，即到达单元格 (0,0) 时能拿到礼物的最大累计价值为 grid[0][0]；
返回值：
dp[m-1][n-1]，m, n 分别为矩阵的行高和列宽，即返回 dp 矩阵右下角元素。

解答

可以不单独定义dp数组，直接原地修改grid数组。

class Solution {
    public int maxValue(int[][] grid) {
        int rows = grid.length;
        int cols = grid[0].length;
        for(int i = 0;i <= rows - 1;i++){
            for(int j = 0;j <= cols - 1;j++){
                if(i == 0 && j == 0) continue;
                if(i == 0 && j != 0) grid[i][j] += grid[i][j-1];
                else if(i != 0 && j == 0) grid[i][j] += grid[i-1][j];
                else grid[i][j] += Math.max(grid[i-1][j],grid[i][j-1]);
            }
        }
        return grid[rows - 1][cols - 1];
    }
}

复杂度分析

时间复杂度O(mn),m,n是行数和列数
空间复杂度是O(1)