素勾股数
a^2+b^2=c^2
可以写成
a=n^2-m^2
b=2*n*m
c=n^2+m^2
n>m>=1
gcd(n,m)==1且n,m奇偶性不同！
或
a=(n^2-m^2)/2
b=n*m
c=(n^2+m^2)/2
n>m>=1
gcd(n,m)==1且n,m都为奇数！
是勾股数组的整数倍的数组还是勾股数组
其他勾股数可以由素勾股数生成
建立全新勾股概念,奉献全新勾股公式,捕捉全部勾股真数
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作者:周祖恕 邮箱z1943515@163.com
已有三千年研究历史的勾股定理还有研究的空间吗? 我用本文试探索。
勾 股 数
1． 定义：凡符合X＾2+Y＾2=Z＾2公式的正整数值我们称之为勾股数。X和Y是直角边，Z是斜边。
2． 凡有公约数的勾股数我们称之为派生勾股数，例[30，40，50] 等；
3． 无公约数的勾股数，例[3，4，5]；[8，15，17]等，我们称之为勾股数。全是偶数的勾股数必是派生勾股数，三个奇数不可能符合定义公式。因此，勾股数唯一的可能性是：
X和Y分别是奇数和偶数（偶数和奇数），斜边Z只能是奇数。
4． 勾股数具有以下特性：
斜边与偶数边之差是奇数,这个奇数只能是某奇数的平方数, 例1,9,25,49,……，至无穷大；
斜边与奇数边之差是偶数,这个偶数只能是某偶数平方数的一半, 例2，8，18，32，……，至无穷大；
5． 由以上定义我们推导出勾股公式：
X = P＾2 + PQ （X等于P平方加PQ）
Y = Q＾2/ 2 + PQ （Y等于二分之Q方加PQ）
Z = P＾2 + Q＾2 / 2 + PQ （Z等于P平方加二分之Q方加PQ）
6． 此公式涵盖了自然界的全部勾股数，包括派生勾股数。
7． 用此公式很容易导出全部勾股数，例如2000以内的勾股数计有320组,（不含派生勾股数）。最大的一组是 [315, 1972, 1997]
8． 斜边是1105和1885的勾股数各有4组：
[47，1104，1105] [264，1703，1105] [576，943，1105] [744，817，1105]；
[427，1836，1885] [1003，1596，1885] [1643，924，1885] [1813，516，1885]；
9． 以任意奇数代入P ，任意偶数代入Q ，即可得到唯一一组勾股数。
例如P = 5 ，Q = 8 ，得到
X = 25 + 5×8 = 65
Y = 32 + 5×8 = 72
Z = 25 + 32 + 5×8 = 97
10． 它极清楚地显示出了斜边与偶数直角边之差是奇数的平方，斜边与奇数直角边之差是偶数平方值的一半，而斜边则是由奇数的平方与偶数平方的一半和此奇数与偶数之积三项之和所构成。
11． 当P与Q有公约数时，例如9与12 ，再例如21与28等，推导出来的是派生勾股数；
当P与Q无公约数时，例如9 与8 ，再例如21与16等，推导出来的是勾股数；
12． 不存在不符合本公式的勾股数。例如有人奉献趣味勾股数[88209，90288，126225]，它实际 是个派生勾股数，它是[297，304，425]乘297倍而成，它是由P = 11和Q = 16导出。
13． 本文所提供的公式是依据本文第4条的两条勾股数特性规律推导而出，但是它可以与六百年前印度婆罗门笈多公式相互推导。
14． 依据本公式勾股定理可从正整数拓展到负整数。在笛卡尔座标图上，勾股三角形可以在更大的位置上显现。