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树状数组和线段树
众所周知, 线段树和树状数组是兄弟来的
它们之间的关系
树状数组可以解的,线段树能解
树状数组不可以解的,线段树还是可以解
既然这样,那我学会线段树不就搞定了吗,干嘛还学树状数组呀
那么,树状数组优在何处呢?
其实呢,就是码量少,思维清晰吧
对比一下
单点修改区间查询
线段树100行起步
树状数组呢,50行左右吧
区间修改区间查询
线段树估计要飙到150了吧
树状数组依旧50行
没有对比就没有伤害呀
这时,有些线段树忠实粉或许会思考人生:你看我还有机会吗?
机会是有的,那就是,打树状数组吧(当然有些题还是要打线段树的啦)
树状数组简介
树状数组图解
此章节内容部分引用自bestsort的小站
众所周知,一棵满二叉树长样:
挪一下位置后,变成了这样
上面这个就是树状数组的画法
准确来说,这时求和数组的画法
把原数组(a)也加进来,成了这样((c)是求和数组)
(c[i])表示子树叶子节点的权值
如上图,有
(c[1]=a[1]\
c[2]=a[1]+a[2]\
c[3]=a[3]\
c[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]\
c[5]=a[5]\
c[6]=a[5]+a[6]\
c[7]=a[7]\
c[8]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8])
转换成二进制再来看一眼
(c[1]=c[0001]=a[1]\
c[2]=c[0010]=a[1]+a[2]\
c[3]=c[0011]=a[3]\
c[4]=c[0100]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]\
c[5]=c[0101]=a[5]\
c[6]=c[0110]=a[5]+a[6]\
c[7]=c[0111]=a[7]\
c[8]=c[1000]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8])
对照式子可以发现,对于一个(i)
(c[i]=a[i-2^k+1]+a[i-2^k+2]+a[i-2^k+3]……+a[i])((k)为二进制下(i)最低位的1后面的0的个数,例如8对应的(k)就等于3,因为(8_{10}=1000_2),最低位的1后面有3个0)
这时候,问题就来了,(2^k)怎么求???
引入(lowbit)
(lowbit)函数就是用来求(2^k)是多少的
具体操作是
int lowbit(int x) {return x&(-x);}
解释
“&”这个符号在C++中指的是按位与运算,具体是说,若在二进制下相同的位置两数都为1,那么&出的答案这一位也为1,否则为0
例如(12&6)
(12_{10}=1100_2)
(6_{10}=0110_2)(空位用0补齐)
(ans=0100_2=4_{10})
在上面这个数据中,12和6只有第三个位置上才都是1,那么答案也就只有这个位置上是1
( 不过学树状数组的人应该都不会不知道位运算吧)
那么(x&(-x))是什么意思呢
首先说明(-x)在二进制下和(x)的关系
在二进制下,(-x)就是(x)取反后再加1
例如,(10_{10}=01010_2),那么(-10_{10}=10101_2+1_2=10110_2)(第一位是符号位)
进行按位与运算后,答案就是(00010_2=2^1=2_{10})(第一位是符号位)
眼睛扫一扫,发现答案就是(2)
神奇吧
具体证明呢
我们知道一个数取反后与原来的每个位置都是相反的,那么原本1的位置就是0,原本0的位置就是1,那么加一后会一直进位到第一个0,也就是在原本数上的第一个1,这时候按位与一下就只有第一个1及以前的是一样的,也就可以得到正确结果
基本应用
1.单点修改,区间查询
修改
若要更新当前节点的(a[i])
那么是不是可以直接更新(a[i])的上级,(a[i])上级的上级,以此类推
用(lowbit)到上级所在下标
void update(int now,int x)
{
int i;
for (i=now;i<=n;i+=lowbit(i))
c[i]+=x;
}
查询
对于区间查询,我们采取前缀和的求法
对于一个区间([l,r]),我们求出(r)的前缀和,减去(l-1)的前缀和即为答案
查询的具体过程呢,也很简单
就是从要查的节点以此往下,搜索下级
依旧是用(lowbit)
int get(int x)
{
int i,ans;
ans=0;
for (i=x;i>=1;i-=lowbit(i))
ans+=c[i];
return ans;
}
题目
Code
#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
long long n,m,i,x,y,ch,c[1000005];
long long lowbit(long long x)
{
return x&(-x);
}
void update(long long now,long long x)
{
long long i;
for (i=now;i<=n;i+=lowbit(i))
c[i]+=x;
}
long long get(long long x)
{
long long i,ans;
ans=0;
for (i=x;i>=1;i-=lowbit(i))
ans+=c[i];
return ans;
}
int main()
{
scanf("%lld%lld",&n,&m);
for (i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%lld",&x);
update(i,x);
}
for (i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%lld%lld%lld",&ch,&x,&y);
if (ch==2) printf("%lld
",get(y)-get(x-1));
else update(x,y);
}
return 0;
}
2.区间修改,单点查询
修改
引入差分的思想,记录数组里每个元素与前一个元素的差,那么(a_i=sum_{j=1}^i d_j),如果修改区间([l,r]),令其加上(x),那么(l)与(l-1)的差增加了(x),(r)与(r+1)的差减小了(x),根据差分,就可以给(d_{l})加上(x),给(d_{r+1})减去(x)
查询
直接根据(a_i=sum_{j=1}^i d_j),查前缀和就好
题目
Code
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,m,i,l,r,x,bj;
long long a[1000005],c[1000005];
int lowbit(int x)
{
return x&(-x);
}
void update(int now,int x)
{
int i;
for (i=now;i<=n;i+=lowbit(i))
c[i]+=x;
}
long long get(int x)
{
int i;
long long ans;
ans=0;
for (i=x;i;i-=lowbit(i))
ans+=c[i];
return ans;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for (i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%lld",&a[i]);
update(i,a[i]-a[i-1]);
}
for (i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d",&bj);
if (bj==1)
{
scanf("%d%d%d",&l,&r,&x);
update(l,x);
update(r+1,-x);
}
else
{
scanf("%d",&x);
printf("%lld
",get(x));
}
}
return 0;
}
3.区间修改,区间查询
这个也是线段树最麻烦的地方,通常100行起步,但树状数组就不用了,实测50行不到,而且我不压行
先看一下如果按照问题2的方法来求区间前缀和,要怎么求
位置(x)的前缀和=(sum_{i=1}^xsum_{j=1}^id_j),发现在这个式子里,(d_1)被计算了(x)此,(d_2)被计算了(x-1)次……,(d_x)被计算了1次。那么这个式子就可以转化为
(sum_{i=1}^xd_i imes(x-i+1)=(x+1)sum_{i=1}^xd_i-sum_{i=1}^xd_i imes i)
其中(x+1)是给出的,那么我们记录(d_i)和(d_i imes i)就可以了
维护两个数组(sum1)和(sum2),分别记录(d_i)和(d_i imes i)
修改
(sum1)同问题2的(d),(sum2)也类似,(l)加上(l imes x),(r+1)减去((r+1)x)
查询
单点(x)的前缀和就是((x+1) imes sum1)中(x)的前缀和-(sum2)中(x)的前缀和,区间([l,r])的值就是(r)的前缀和-(l-1)的前缀和
题目
Code
#include<cstdio>
using namespace std;
long long n,m,i,l,r,x,bj,a[1000005],c1[1000005],c2[1000005];
long long lowbit(long long x)
{
return x&(-x);
}
void update(long long k,long long x)
{
long long i;
for (i=k;i<=n;i+=lowbit(i))
{
c1[i]+=x;
c2[i]+=x*k;
}
}
long long get(long long x)
{
long long i,ans;
ans=0;
for (i=x;i;i-=lowbit(i))
ans+=((x+1)*c1[i])-c2[i];
return ans;
}
int main()
{
scanf("%lld%lld",&n,&m);
for (i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%lld",&a[i]);
update(i,a[i]-a[i-1]);
}
for (i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%lld",&bj);
if (bj==1)
{
scanf("%lld%lld%lld",&l,&r,&x);
update(l,x);
update(r+1,-x);
}
else
{
scanf("%lld%lld",&l,&r);
printf("%lld
",get(r)-get(l-1));
}
}
return 0;
}
小结
线段树与树状数组有很多相似的地方,但是树状数组很明显的优势就是短,但是线段树可以处理很多种情况,而这里面有些是树状数组做不到的,所以说不论是线段树还是树状数组,我们都应该学习一下,然后选择更好的去解决题目。
不定时更新高阶操作