题目描述
输入
一个正整数T表示数据组数
接下来T行 每行两个正整数 表示N、M
输出
T行 每行一个整数 表示第i组数据的结果
样例输入
1
4 5
样例输出
122
题解
莫比乌斯反演+线性筛
由于要处理多组询问，所以 bzoj2154 的做法就不好用了，但是这个结论可以套用过来。
然后推公式：
（UPD：上面公式最后一行请自行把 $k$ 改成 $n$ ... 由于这里是图片形式就不改了）
设f1(n)=n2mu(n)，f2(n)=n，则显然f2是积性函数，f1为两个积性函数的乘积，也是积性函数。
那么f为f1和f2的狄利克雷卷积，也是积性函数。
所以可以尝试快筛f(n)。
当n为质数时，显然f(n)=n-n^2。
当n不为质数时，即n=i*p，p|i，p是质数，那么观察f(n)化简之后的式子，n新增加出来的约数一定是包含p^2的，它的mu值一定是0，所以f(n)的改变只是从i*...变为了n*...，所以此时f(n)=f(i)*p。
这样我们就可以快筛出f函数及其前缀和，然后对于每个询问分块求解即可。
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define mod 100000009
using namespace std;
const int n = 10000000;
typedef long long ll;
int prime[n + 10] , tot;
ll g[n + 10] , sum[n + 10];
bool np[n + 10];
ll s(int x)
{
return (ll)x * (x + 1) / 2 % mod;
}
ll cal(ll a , ll b)
{
int i , last;
ll ans = 0;
for(i = 1 ; i <= a && i <= b ; i = last + 1) last = min(a / (a / i) , b / (b / i)) , ans = (ans + (sum[last] - sum[i - 1] + mod) % mod * s(a / i) % mod * s(b / i) % mod) % mod;
return ans;
}
int main()
{
int i , j , T , a , b;
g[1] = sum[1] = 1;
for(i = 2 ; i <= n ; i ++ )
{
if(!np[i]) g[i] = ((i - (ll)i * i) % mod + mod) % mod , prime[++tot] = i;
for(j = 1 ; j <= tot && i * prime[j] <= n ; j ++ )
{
np[i * prime[j]] = 1;
if(i % prime[j] == 0)
{
g[i * prime[j]] = g[i] * prime[j] % mod;
break;
}
else g[i * prime[j]] = g[i] * g[prime[j]] % mod;
}
sum[i] = (sum[i - 1] + g[i]) % mod;
}
scanf("%d" , &T);
while(T -- ) scanf("%d%d" , &a , &b) , printf("%lld
" , cal(a , b));
return 0;
}