mahony 算法是常见的姿态融合算法，将加速度计，磁力计，陀螺仪共九轴数据，融合解算出机体四元数，该算法可到其网站下载源码https://x-io.co.uk/open-source-imu-and-ahrs-algorithms/
该篇仅介绍融合加速度计和陀螺仪的六轴数据算法，由于笔者水平有限，文中难免存在一些不足和错误之处，诚请各位批评指正。
1 空间姿态的常规描述
首先，姿态解算中的姿态实际上值得是机体坐标系与地理坐标系的旋转关系。其常用描述形式有三种：欧拉角，方向余弦矩阵，四元数。
1.1 欧拉角与方向余弦矩阵
对于任何参考系，一个刚体的取向（也就是姿态解算中的姿态）可以围绕刚体坐标系以z-x-z轴顺序做三个欧拉角旋转而得出的。另外的，刚体的取向可以用三个基本旋转矩阵来确定，而将三个矩阵相乘可复合得到对于任何刚体旋转的旋转矩阵R，此处省略推导过程有兴趣的话可以自行谷歌。
欧拉角描述空间姿态的一大优点就是方式直观容易理解。但其存在的问题也很严重，即万向节死锁，网上有许多资料这里就不再赘述。
在经典欧拉角中我们围绕刚体坐标轴以z-x-z轴顺序旋转进而推导出一种空间中坐标转换矩阵，若围绕地理坐标系中的坐标轴旋转则可推导出以下绕三个坐标轴的旋转矩阵，与欧拉角复合三个矩阵的方式相同，我们将三个矩阵相乘即可得到方向余弦矩阵C。
上述表示方法虽然直观，但其在公式中存在大量的三角函数式，而大量的三角函数会显著延长运算时间导致计算周期变长。因此，我们需要另一种方便计算的描述方式——四元数。
1.2 四元数
四元数的定义与复数非常类似，唯一的区别是复数只有一个虚部，而四元数一共有三个。所有的四元数 q ∈ H
（H代表四元数的发现者William Rowan Hamilton）都可以写成下面这种形式：
其中：
与复数类似，四元数就是基{1，i，j，k}的线性组合，同样的，四元数也可以写成向量形式：
另外的，我们也可以将实部与虚部分开，即通过一个三维向量表示虚部，从而将四元数表示为标量与向量的有序对形式：
1.2.1.1 模长
仿照复数的定义，我们可以将一个四元数 (q = a + bi + cj + dk) 的模长定义为：
如果用有序对形式表示的话：
1.2.1.2 加减运算与标量乘法
四元数的加减运算与标量乘法同复数类似，只需将分量各自运算即可，这里不做赘述。与复数相同，四元数的标量乘法同样遵循交换律，即 (sq = qs)，其中s为标量。
1.2.1.3 四元数乘法
四元数乘法较为特殊，并不遵循交换律，也就是说在一般情况下(q_1q_2 ≠ q_2q_1)。
如果有两个四元数 (q_1 = a + bi + cj + dk) 和 (q_2 = e + fi + gj + hk) ，由 (i² = j² = k² = ijk = −1) 可得其乘积为：
写成矩阵形式则有：
这个矩阵变换相当于左乘 (q_1)，由于四元数不符合交换律，所以右乘(q_1)的变换是一个不同的矩阵：
1.2.1.4 纯四元数
与复数相似，实部为0的四元数被称之为纯四元数，空间中的三维向量可以用纯四元数的形式表示，这种表示方法在四元数表示旋转的推导过程中有重要应用。
1.2.1.5 单位四元数
定义模长为1的四元数为单位四元数，用于表示旋转的四元数一定为单位四元数。
2 利用四元数表示姿态
该部分省略推导过程，具体可以参考https://krasjet.github.io/quaternion/quaternion.pdf
2.1 利用四元数表示旋转
通过罗德里格旋转，我们可以推导出四元数表示旋转的定理：
任意向量 v 绕着以单位向量定义的旋转轴 u 旋转 θ 度后的 v' 可以使用四元数乘法来获得四元数旋转公式:
其中：
2.2 利用四元数表示姿态矩阵
我们已经得出四元数表示旋转的一般形式，即三个四元数相乘，通过四元数乘法的矩阵表示形式，我们可以将四元数旋转公式表示为矩阵形式：
矩阵的第一行和第一列不会对v进行任何变换，所以我们可以将其压缩为3维方阵，即可得到矩阵旋转公式：
任意向量 v 沿着以单位向量定义的旋转轴 u 旋转 θ 角度后的 v' 可以使用矩阵乘法来获得：
同样也是将向量从机体坐标系 b 到大地坐标系 R 的姿态矩阵 (C_{b}^{R})（也称为坐标转换矩阵）即为：
这里再给出从大地坐标系 R 转换到机体坐标系 b 的坐标转换矩阵 (C_{R}^{b})
其中：
对应四元数为：
也可写成有序数对形式，即2.1旋转公式中的：
2.3 通过四元数反解欧拉角
得到四元数后，可以通过四元数的值反解出机体坐标系的欧拉角，同样的这里省略推导过程直接给出公式：
3 基于四元数的姿态解算
3.1 四元数的求解
四元数描述机体坐标系与大地坐标系的旋转关系，因此对于机体的姿态解算需要实时更新四元数。我们通过构建四元数关于时间的微分方程来研究此问题。
存在单位四元数：
对时间t进行微分，可得：
求解该微分方程即可得到当前四元数的值。但计算机中的计算是离散的，所以我们需要对该微分方程进行离散化处理，这样才可以有效的通过单片机或其他数字控制器进行求解：
3.2 传感器数据融合
3.2.1 基本原理
首先，对于六轴数据，计算角度有两种方法，一种是通过对角速度积分得到角度，另一种则是通过对加速度进行正交分解得到角度。但这两种方式均存在不足，通过角速度积分得到角度时，角速度的误差会在积分过程中被不断放大从而影响数据准确性。而加速度计是一种特别敏感的传感器，电机旋转产生的震动会给加速度计的数据中带来高频噪声。
不难看出，第一种方法测得的数据中存在结果偏差，而第二种方法测得的数据中存在高频噪声。因此可通过融合两种数据以获得准确姿态，这里通过加速度计补偿角速度。
设有大地坐标下的重力加速度 g，把 g 通过姿态矩阵（坐标转换矩阵）的逆（意味着从地理坐标系 R 到机体坐标 b 系）变换到机体坐标系，得到其在机体坐标系下的**理论重力加速度向量 (hat{oldsymbol{v}}) **，则两者的变换关系可通过前文给出的姿态矩阵得出：
不难看出，将重力加速度向量变换至机体坐标系后，恰好是矩阵的最后一列。这样一来，我们就得到了由描述刚体姿态的四元数推导出的理论重力加速度向量 (hat{oldsymbol{v}}) 。另外，我们还可以通过加速度计测量出实际重力加速度向量 (overline{oldsymbol{v}}) 。
显然，这里的理论重力加速度向量 (hat{oldsymbol{v}}) 和实际重力加速度向量 (overline{oldsymbol{v}}) 之间必然存在偏差，而这个偏差很大程度上是由陀螺仪数据产生的角速度误差引起的，所以根据理论向量和实际向量间的偏差，就可以补偿陀螺仪数据的误差，进而解算出较为准确的姿态，即将隐含在四元数中的角速度误差显化。
3.2.2 误差补偿
理论重力加速度向量和实际重力加速度向量均是向量，反应向量间夹角关系的运算有两种：内积（点乘）和外积（叉乘），考虑到向量外积模的大小与向量夹角呈正相关，故通过计算外积来得到向量方向差值 (θ)：
在进行叉乘运算前，应先将理论向量 (hat{oldsymbol{v}}) 和实际向量 (overline{oldsymbol{v}}) 做单位化处理，有：
考虑到实际情况中理论向量 (hat{oldsymbol{v}}) 和实际向量 (overline{oldsymbol{v}}) 偏差角不会超过45°，而当(θ)在±45°内时，(sinθ) 与(θ)的值非常接近，因此上式可进一步简化为：
得到向量偏差后，即可通过构建PI补偿器来计算角速度补偿值：
其中，比例项用于控制传感器的“可信度”，积分项用于消除静态误差。(K_P)越大，意味着通过加速度计得到误差后补偿越显著，即是越信任加速度计。反之(K_P)越小时，加速度计对陀螺仪的补偿作用越弱，也就越信任陀螺仪。而积分项则用于消除角速度测量值中的有偏噪声，故对于经过零篇矫正的角速度测量值，一般选取很小的(K_I)。最后将补偿值补偿给角速度测量值，带入四元数差分方程中即可更新当前四元数。
3.3 回到欧拉角
考虑到四元数不具备直观几何意义，故最后还需通过四元数反解出欧拉角。这里直接套用上文给出的公式即可：
3.4 代码分析
//---------------------------------------------------------------------------------------------------
// Definitions
#define sampleFreq 1000.0f // sample frequency in Hz
#define twoKpDef (2.0f * 0.5f) // 2 * proportional gain
#define twoKiDef (2.0f * 0.0f) // 2 * integral gain
//---------------------------------------------------------------------------------------------------
// Variable definitions
volatile float twoKp = twoKpDef; // 2 * proportional gain (Kp)
volatile float twoKi = twoKiDef; // 2 * integral gain (Ki)
//volatile float q0 = 1.0f, q1 = 0.0f, q2 = 0.0f, q3 = 0.0f; // quaternion of sensor frame relative to auxiliary frame
volatile float integralFBx = 0.0f, integralFBy = 0.0f, integralFBz = 0.0f; // integral error terms scaled by Ki
void MahonyAHRSupdateIMU(float q[4], float gx, float gy, float gz, float ax, float ay, float az) {
float recipNorm;
float halfvx, halfvy, halfvz;
float halfex, halfey, halfez;
float qa, qb, qc;
// Compute feedback only if accelerometer measurement valid (avoids NaN in accelerometer normalisation)
// 只在加速度计数据有效时才进行运算
if(!((ax == 0.0f) && (ay == 0.0f) && (az == 0.0f))) {
// Normalise accelerometer measurement
// 将加速度计得到的实际重力加速度向量v单位化
recipNorm = invSqrt(ax * ax + ay * ay + az * az); //该函数返回平方根的倒数
ax *= recipNorm;
ay *= recipNorm;
az *= recipNorm;
// Estimated direction of gravity
// 通过四元数得到理论重力加速度向量g
// 注意，这里实际上是矩阵第三列*1/2，在开头对Kp Ki的宏定义均为2*增益
// 这样处理目的是减少乘法运算量
halfvx = q[1] * q[3] - q[0] * q[2];
halfvy = q[0] * q[1] + q[2] * q[3];
halfvz = q[0] * q[0] - 0.5f + q[3] * q[3];
// Error is sum of cross product between estimated and measured direction of gravity
// 对实际重力加速度向量v与理论重力加速度向量g做外积
halfex = (ay * halfvz - az * halfvy);
halfey = (az * halfvx - ax * halfvz);
halfez = (ax * halfvy - ay * halfvx);
// Compute and apply integral feedback if enabled
// 在PI补偿器中积分项使能情况下计算并应用积分项
if(twoKi > 0.0f) {
// integral error scaled by Ki
// 积分过程
integralFBx += twoKi * halfex * (1.0f / sampleFreq);
integralFBy += twoKi * halfey * (1.0f / sampleFreq);
integralFBz += twoKi * halfez * (1.0f / sampleFreq);
// apply integral feedback
// 应用误差补偿中的积分项
gx += integralFBx;
gy += integralFBy;
gz += integralFBz;
}
else {
// prevent integral windup
// 避免为负值的Ki时积分异常饱和
integralFBx = 0.0f;
integralFBy = 0.0f;
integralFBz = 0.0f;
}
// Apply proportional feedback
// 应用误差补偿中的比例项
gx += twoKp * halfex;
gy += twoKp * halfey;
gz += twoKp * halfez;
}
// Integrate rate of change of quaternion
// 微分方程迭代求解
gx *= (0.5f * (1.0f / sampleFreq)); // pre-multiply common factors
gy *= (0.5f * (1.0f / sampleFreq));
gz *= (0.5f * (1.0f / sampleFreq));
qa = q[0];
qb = q[1];
qc = q[2];
q[0] += (-qb * gx - qc * gy - q[3] * gz);
q[1] += (qa * gx + qc * gz - q[3] * gy);
q[2] += (qa * gy - qb * gz + q[3] * gx);
q[3] += (qa * gz + qb * gy - qc * gx);
// Normalise quaternion
// 单位化四元数 保证四元数在迭代过程中保持单位性质
recipNorm = invSqrt(q[0] * q[0] + q[1] * q[1] + q[2] * q[2] + q[3] * q[3]);
q[0] *= recipNorm;
q[1] *= recipNorm;
q[2] *= recipNorm;
q[3] *= recipNorm;
//Mahony官方程序到此结束，使用时只需在函数外进行四元数反解欧拉角即可完成全部姿态解算过程
}