NOIP赛前模拟20171027总结

题目：

1.寿司

  给定一个环形的RB串··要求经过两两互换后RB分别形成两段连续区域,求最少操作次数(算法时间O(n))

2.金字塔

  给定一个金字塔的侧面图有n层··已知每一层的宽度··高度均为1··要求在图中取出恰好K个互不相交的矩形（边缘可以重叠）,求最多可以取出多少面积

  n<=20000，k<=100

3.心灵治愈

  给定n,m要求取出不大于m的n个正整数,问有多少种取法使n个数和m的最大公因数为1,n,m<=10^15

题解：

1.分析

  首先为了方便我们把环从中间断开看成一个序列，我们考虑如果移动R串··那么肯定是找到某一B为中心··B的左边R移到一起··B的右边R移到一起(这里描述有点模糊···如果序列左边的R都移到一起，且序列最左边为R，右边同理··则实际在环中R肯定是连续的一段··)

  因此我们先随意找一个B为中心··然后计算答案··之后我们一次将序列最左端的字符移到最右端(比如序列BBRRR移动后就变成BRRRB)然后考虑答案的变化即可···具体实现参见代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=2e6+5;
int T,n,num[N];
char s[N];
int main()
{
  //freopen("a.in","r",stdin);
  //freopen("a.out","w",stdout);
  scanf("%d",&T);
  while(T--)
  {
    long long ans=0,cnt=0;
    int tot1=0,tot2=0,totl=0,totr=0,mid;
    scanf("%s",s+1);n=strlen(s+1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
      if(s[i]=='B')  num[i]=num[i+n]=1,tot1++;
      else num[i]=num[i+n]=2,tot2++;
    }
    int half=(tot1+1)/2;int temp=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
      if(num[i]==1)  {temp++;if(temp==half)  mid=i;}
      else
      {
        if(temp<half){totl++;cnt+=temp;}
        else {totr++;cnt+=(tot1-temp);}
      }
    }
    ans=cnt;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
      if(num[i]==1)
      { 
        int tot=0,j;
        for(j=mid+1;num[j]!=1;j++)  tot++;    
        cnt-=totl;cnt+=(totr-tot);mid=j;
        totl+=tot;totr-=tot;
        if(tot1%2==0) cnt-=tot;
        ans=min(ans,cnt);
      }
      else 
      {
        totl-=1;totr+=1;  
      }
    }
    cout<<ans<<endl;
  }
  return 0;
}

2.dp+决策单调性/斜率优化

  dp方程肯定很好想··第一要明确取的方案··我们肯定是以某一层的宽度为矩形的一边··然后往下取到某一层为一个矩形·矩形的高就是两层高的差··

  然后设f[j][i]为第j块矩形以第i层为一边的最大面积··转移方程即为：

  f[j][i]=max(f[j][i],f[k][i-1]+(long long)len[j]*(j-k));

  其中k为我们往下枚举的层数··len为j层的宽度··

  然后通过打表(dalao也可以分析)得出该方程满足决策单调性且使用于斜率优化····这里两种方法都能过

  决策单调性：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<cctype>
#include<string>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
inline int R()
{
  char c;int f=0;
  for(c=getchar();c<'0'||c>'9';c=getchar());
  for(;c<='9'&&c>='0';c=getchar())  f=(f<<3)+(f<<1)+c-'0';
  return f;
}
const int N=20005;
const int M=105;
struct node
{
  int l,r,pos;
}Que[N];
int n,K;
long long len[N],f[N][M];
inline long long calc(int i,int j,int now)
{
  return f[j][now-1]+(long long)len[i]*(i-j);
}
inline int find(node a,int b,int now)
{
  int le=a.l,ri=a.r,ans=a.r+1;
  while(le<=ri)
  {
    int mid=(le+ri)/2;
    if(calc(mid,b,now)>calc(mid,a.pos,now))  ri=mid-1,ans=mid;
    else le=mid+1;
  }
  return ans;
}
inline void dp(int now)
{
  int Head=1,Tail=0;
  node tmp;tmp.l=now;tmp.r=n;tmp.pos=now-1;Que[++Tail]=tmp;
  for(int i=now;i<=n;i++)
  {
    while(Que[Head].r<i)  Head++;
    f[i][now]=calc(i,Que[Head].pos,now);
    if(calc(n,i,now)>calc(n,Que[Tail].pos,now))
    {
      while(Head<=Tail&&calc(Que[Tail].l,i,now)>calc(Que[Tail].l,Que[Tail].pos,now))  Tail--;
      if(Head<=Tail)
      {
        int t=find(Que[Tail],i,now);
        Que[Tail].r=t-1;
        node tmp;tmp.l=t,tmp.r=n,tmp.pos=i;Que[++Tail]=tmp;
      }
      else
      {
        node tmp;tmp.l=i+1;tmp.r=n;tmp.pos=i;Que[++Tail]=tmp;
      }
    }
  }
}
int main()
{
  //freopen("pyramid.out","w",stdout);
  n=R(),K=R();int x,y;
  if(n<=1000)
  {  
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
      x=R(),y=R();len[i]=y-x+1;f[i][1]=(long long)len[i]*i;
    }
    for(int i=2;i<=K;i++)
      for(int j=i;j<=n;j++)
        for(int k=i-1;k<j;k++)  f[j][i]=max(f[j][i],f[k][i-1]+(long long)len[j]*(j-k));
    long long ans=0;
    for(int i=K;i<=n;i++)  ans=max(f[i][K],ans);
    cout<<ans<<"
";
  }
  else
  {
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
      x=R(),y=R();len[i]=y-x+1;f[i][1]=(long long)len[i]*i;
    }
    for(int i=2;i<=K;i++)
      dp(i);
    long long ans=0;
    for(int i=K;i<=n;i++)  ans=max(f[i][K],ans);   
    cout<<ans<<"
";
  }
  return 0;
}

3.质因数分解+容斥原理

  这道题和之前跳蚤的那道题是一模一样的··这里就并不多说了··

  唯一注意的是我发现了自己快速幂的一个漏洞··求a^b之前要将a取模···之前一直没有注意到···还有就是注意最后答案为负的问题

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
vector<long long>zhiyinzi;
const long long mod=1e9+7;
long long n,m,ans=0;
inline long long ksm(long long a,long long b)
{
  long long ans=1;a%=mod;  
  while(b)
  {
    if(b%2==1)  ans=(ans*a)%mod;
    b/=2;a=(a*a)%mod;
  }
  return ans;
}
inline void dfs(int u,long long tot,long long f)
{
  if(u==zhiyinzi.size())
  {
    long long temp=m/tot;
    ans=(ans+f*ksm(temp,n))%mod;
    ans=(ans%mod+mod)%mod;
    return;
  }
  dfs(u+1,tot,f);
  dfs(u+1,tot*zhiyinzi[u],-f);
}
int main()
{
  scanf("%I64d%I64d",&n,&m);
  long long temp=m;
  for(long long i=2;i*i<=m;i++)
  {
    if(i>temp)  break;  
    if(temp%i==0)
    { 
      while(temp%i==0)  temp/=i;
      zhiyinzi.push_back(i);
    }
  }
  if(temp!=1)  zhiyinzi.push_back(temp);
  dfs(0,1,1);
  ans=(ans%mod+mod)%mod;
  cout<<ans<<endl;
  return 0;
}