Polya

Polya

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拉格朗日定理

H是G的子群
|H||G:H|=|G| (|G:H|表示H在G中的陪集个数)
|H|的每个陪集的大小与|H|相等，又由不同的陪集互不相交且不同陪集的并为G得证
很显然这也说明了一个群的子群大小是整除该群大小的

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轨道与稳定化子定理

对于一个被置换集合内的元素x
我们定义他的轨道为
Orbit(x)={n|n=f(x),f∈G}
即他最后通过置换集合的作用后能变成的不同元素集合.
我们定义他的稳定化子为
Stab(x)={f|x=f(x),f∈G}的置换组成的集合

首先证明一个东西
H是G的一个子集
aH是H关于a的陪集，
bH是H关于b的陪集，
那么aH=bH <-> a−1b∈H
直接先证明aH=bH -> a−1b∈H,反过来的话同理
我们有ah1=bh2,那么a∗b−1=h2∗h−11，因为h2∗h−11∈H(群的定义）,得证。

|轨道||稳定化子|=|群|
证明
g1x等于g2x当且仅当g−11g2x=x
也就是g−11g2(g1的逆乘以g2)在x的稳定化子里
也就是说g1和g2对应的稳定化子的陪集相同
轨道的大小就是不同的g1x的个数，即稳定化子的陪集数量
根据拉格朗日定理，得证.

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Polya定理

一个显然的东西:
对于x∈M,有x∈Orbit(x)

|M/G|=1|G|∑g∈G|Mg|
其中Mg={g(m)=m，m∈M}即在g的作用下不动的元素

证明
1|G|∑g∈G|Mg|=1|G|∑m∈M|Stab(M)|=∑m∈M1|Orbit(M)|
这个式子很明显就是|M/G|了