通常来说从决策数量上来优化Dp有以下几种方法：
斜率优化
用于优化带多项式的乘积项的状态转移方程，即f[i]=min/max{f[j]+(x[i]-x[j])^2} 这样的，
我们把他展开可以得到f[i]=min/max{f[j]+x[i]^2+x[j]^2-2*x[i]*x[j]}
根据动规方程状态i从状态j转化而来，
我们可以化成类似f[i]=(f[j]+…)+(-i*f[i-1]*f[j])+(i+…)的形式
其中蓝色部分只与j有关，红色部分与i，j有关，绿色部分只与i或常数有关
我们可以固定i，故变形为
f[i]-i-…=(f[j]+…)+(-i*f[i-1]*f[j])
考虑几何意义，
令蓝色部分为y，红色部分中的i部分为导数k，红色部分中j部分为x，绿色部分只是常数，在几何意义上只是截距，与单调性无关，可以设为B
故得y=kx-B
这样就可以利用线性规划来做了，
容易发现无论一次函数的斜率怎么变，截距最小时取的点一定是那所有点求出的下凸壳上的某一个点。 因此我们只要每次在上边寻找最优解，然后加点时维护这个下凸壳即可。 根据斜率和(x,y)的单调性不同有不同的维护方法。
四边形不等式优化
下面我们通过四边形不等式来优化上述方程，首先介绍什么是”区间包含的单调性“和”四边形不等式“
（1）区间包含的单调性：如果对于i≤i'<j≤j'，有w(i',j)≤w(i,j')，那么说明w具有区间包含的单调性。（可以形象理解为如果小区间包含于大区间中，那么小区间的w值不超过大区间的w值）
（2）四边形不等式：如果对于i≤i'<j≤j'，有w(i,j)+w(i',j')≤w(i',j)+w(i,j')，我们称函数w满足四边形不等式。（可以形象理解为两个交错区间的w的和不超过小区间与大区间的w的和）
下面给出两个定理
定理一：如果上述的w函数同时满足区间包含单调性和四边形不等式性质，那么函数m也满足四边形不等式性质。
我们再定义s(i,j)表示m(i,j)取得最优值时对应的下标（即i≤k≤j时，k处的w值最大，则s(i,j)=k）。此时有如下定理
定理二：假如m(i,j)满足四边形不等式，那么s(i,j)单调，即s(i,j)≤s(i,j+1)≤s(i+1,j+1)。
好了，有了上述的两个定理后，我们发现如果w函数满足区间包含单调性和四边形不等式性质，那么有s(i,j-1)≤s(i,j)≤s(i+1,j)。即原来的状态转移方程可以改写为下式：
m(i,j)=min{m(i,k-1),m(k,j)}+w(i,j)(s(i,j-1)≤k≤s(i+1,j))（min也可以改为max）
由于这个状态转移方程枚举的是区间长度L=j-i，而s(i,j-1)和s(i+1,j)的长度为L-1，是之间已经计算过的，可以直接调用。不仅如此，区间的长度最多有n个，对于固定的长度L，不同的状态也有n个，故时间复杂度为O(N^2)，而原来的时间复杂度为O(N^3)，实现了优化！今后只需要根据方程的形式以及w函数是否满足两条性质即可考虑使用四边形不等式来优化了。