BZOJ 3571 画框 KM算法 最小乘积最大权匹配

　　题意

　　　　有n个画框和n幅画。若第i幅画和第j个画框配对，则有平凡度A_ij和违和度B_ij，一种配对方案的总体不和谐度为∑A_ij*∑B_ij。求通过搭配能得到的最小不和谐度是多少。 n <= 70.

　　分析

　　　　这题是最小乘积最大权匹配裸题，其做法类似最小乘积生成树。

　　　　每个方案可以表示为二维平面上的点，答案必然在下凸壳上。

　　　　具体要怎么找呢？其实是有一个这样的方法：找出横坐标或纵坐标最小的点a和b，找点的方法可以用KM。

　　　　找到这两个点就可以分治下去做了，找到离直线ab距离最大的点（当然要在直线ab下方）。

　　　　列出点线距离公式，由于要找的点是在直线ab的下方，那么绝对值就可以去掉，整理为Ax+By的最值，然后就化成了一维，继续用KM来找，如此递归下去做。

　　　　当然，最小乘积XXX的东西似乎都可以用上面的方法做，拓展到多维方法也是类似的。

　　程序

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <iostream>

using namespace std;

const int maxn = 75;
const int INF = 0x3fffffff;
bool visx[maxn], visy[maxn];
int linker[maxn], slack[maxn], lx[maxn], ly[maxn], w[maxn][maxn];
int n, a[maxn][maxn], b[maxn][maxn];
struct Point
{
    int x, y;
    Point (int x = 0, int y = 0):
        x(x), y(y) {}
    bool operator == (const Point &AI) const
    {
        return AI.x == x && AI.y == y;
    }
};

bool dfs(int x)
{
    int y, temp;
    visx[x] = true;
    for (y = 1; y <= n; ++y)
    {
        if (visy[y]) continue ;
        temp = lx[x]+ly[y]-w[x][y];
        if (temp == 0)
        {
            visy[y] = true;
            if (linker[y] == -1 || dfs(linker[y]))
            {
                linker[y] = x;
                return true;
            }
        }
        else if (temp < slack[y]) slack[y] = temp;
    }
    return false;
}

Point KM()
{
    int i, j, x, y, d;
    memset(ly, 0, sizeof(ly));
    memset(linker, -1, sizeof(linker));
    for (i = 1; i <= n; ++i)
    {
        lx[i] = -INF;
        for (j = 1; j <= n; ++j) lx[i] = max(lx[i], w[i][j]);
    }
    for (x = 1; x <= n; ++x)
    {
        for (y = 1; y <= n; ++y) slack[y] = INF;
        while (1)
        {
            memset(visx, 0, sizeof(visx));
            memset(visy, 0, sizeof(visy));
            if (dfs(x)) break ;
            d = INF;
            for (y = 1; y <= n; ++y) if (!visy[y]) d = min(d, slack[y]);
            for (i = 1; i <= n; ++i) if (visx[i]) lx[i] -= d;
            for (y = 1; y <= n; ++y)
                if (visy[y]) ly[y] += d;
                else slack[y] -=d;
        }
    }
    Point temp(0, 0);
    for (i = 1; i <= n; ++i)
        temp.x += a[linker[i]][i], temp.y += b[linker[i]][i];
    return temp;
}

int solve(Point p1, Point p2)
{
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 1; j <= n; ++j)
            w[i][j] = (p2.y-p1.y)*a[i][j]+(p1.x-p2.x)*b[i][j];
    Point t = KM();
    if (t == p1 || t == p2) return min(p1.x*p1.y, p2.x*p2.y);
    return min(solve(p1, t), solve(t, p2));
}

int main()
{
    freopen("a.in", "r", stdin);
    freopen("a.out", "w", stdout);
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T --)
    {
        scanf("%d", &n);
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
            for (int j = 1; j <= n; ++j)
                scanf("%d", &a[i][j]);
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
            for (int j = 1; j <= n; ++j)
                scanf("%d", &b[i][j]);
        Point p1, p2;
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
            for (int j = 1; j <= n; ++j)
                w[i][j] = -a[i][j];
        p1 = KM();
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
            for (int j = 1; j <= n; ++j)
                w[i][j] = -b[i][j];
        p2 = KM();
        printf("%d
", solve(p1, p2));
    }
    return 0;
}