• 中国剩余定理详解


    引入

    我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题目,它的描述是这样的

    今有物不知其数,三三数之余二;五五数之余三;七七数之余二。问物几何?

    这道题用现代数学理论来看,无非就是解一个方程

    egin{cases}xequiv 2left( mod 3 ight) \
    xequiv 3left( mod 5 ight) \
    xequiv 2left( mod 7 ight) end{cases}

    那么这个方程怎么解呢?

    这需要用到我们祖先的伟大创造——中国剩余定理

    中国剩余定理

    在很久以前,数学领域还没有像扩展欧几里得这种东西。对于这个问题,我们祖先采用了构造的方法

    构造过程如下

    首先考虑三个特殊方程

    egin{cases}xequiv 1left( mod 3 ight) \
    xequiv 0left( mod 5 ight) \
    xequiv 0left( mod 7 ight) end{cases}

    egin{cases}xequiv 0left( mod 3 ight) \
    xequiv 1left( mod 5 ight) \
    xequiv 0left( mod 7 ight) end{cases}

    egin{cases}xequiv 0left( mod 3 ight) \
    xequiv 0left( mod 5 ight) \
    xequiv 1left( mod 7 ight) end{cases}

    他们的特殊解

    那第一个方程来说,它实际上等同于解一个同余式

     $$35yequiv 1left( mod 3 ight) $$

    因为$x$一定是$5*7=35$的倍数

    化简一下当面的式子

    $$2yequiv 1left( mod 3 ight) $$

    我们不难得出解$y=2$,此时$x=70$

    同理,对于第二第三个式子我们可以运用相同的方法求解

    $$egin{pmatrix} 1 \ 0 \ 0 end{pmatrix}=70egin{pmatrix} 0 \ 1 \ 0 end{pmatrix}=21egin{pmatrix} 0 \ 0 \ 1 end{pmatrix}=15$$

    那么最终的答案为

    $$egin{pmatrix} 2 \ 3 \ 2 end{pmatrix}=2egin{pmatrix} 1 \ 0 \ 0 end{pmatrix}+3egin{pmatrix} 0 \ 1 \ 0 end{pmatrix}+2egin{pmatrix} 0 \ 0 \ 1 end{pmatrix}$$

    $$=2 imes 70+3 imes 21+2 imes 15equiv 23left( mod 105 ight)$$

    我们这样就可以求出解了。

    但是这仅仅是三个式子的情况,如果推广到$r$个呢?

    其实是一样的,都是利用构造的手段。

    下面我们来推广一下。

    设有$r$个同余式,其中$m_i$两两互素,注意$m$必须两两互素,否则答案错误。其实不互素也可以搞不过要用更神奇的东西

    设$N=prod ^{r}_{i=1}m_{i}$

    对于同余方程组

    $$egin{cases}xequiv b_{1}left( mod m_{1} ight) \ xequiv b_{2}left( mod m_{2} ight) \ ldots \ xequiv brleft( mod m_r ight) end{cases}$$

    在模$N$同余的意义下有唯一解

    这个方程怎么解呢?

    我们仍然像前面一样,考虑构造

    $$egin{cases}xequiv 0left( mod m_{1} ight) \ ldots \ xequiv 0left( mod m_{i-1} ight) \ ldots \ xequiv 1left( mod m_{i} ight) \ ldots \ xequiv 0left( mod m_{i+1} ight) \ ldots \ xequiv0left( mod M_{r} ight) end{cases}$$

    像上面那样,我们令$x=(N/m_i)*y$

    那么我们现在需要解出

    $left( N/m_{i} ight) yequiv 1left( mod m_{i} ight) $

    这个东西怎么搞呢?

    聪明的你肯定已经知道啦,这不就是个逆元嘛,想怎么搞就怎么搞

    如果你不知道怎么搞的话可以看这里

    那么方程的解为$x_{0}=b_{1}x_{1}+b_{2}x_{2}+ldots +b_{r}x_{r}left( mod N ight)$

    怎么样?似不似很简单?

    例题

    有了上面的知识代码应该不难写

    放一道水题

    http://poj.org/problem?id=1006

    题解(很久之前做的)

     

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