[luogu p2296] 寻找道路

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寻找道路

题目描述

在有向图 (G) 中，每条边的长度均为 (1)，现给定起点和终点，请你在图中找一条从起点到终点的路径，该路径满足以下条件：

1. 路径上的所有点的出边所指向的点都直接或间接与终点连通。
2. 在满足条件$ 1 $的情况下使路径最短。

注意：图 (G) 中可能存在重边和自环，题目保证终点没有出边。

请你输出符合条件的路径的长度。

输入输出格式

输入格式

第一行有两个用一个空格隔开的整数 (n) 和 (m)，表示图有 (n) 个点和 (m) 条边。

接下来的 (m) 行每行 (2) 个整数 (x,y)，之间用一个空格隔开，表示有一条边从点 (x) 指向点(y)。

最后一行有两个用一个空格隔开的整数 (s, t)，表示起点为 (s)，终点为 (t)。

输出格式

输出只有一行，包含一个整数，表示满足题目描述的最短路径的长度。如果这样的路径不存在，输出(-1)。

输入输出样例

输入样例 #1

3 2
1 2
2 1
1 3

输出样例 #1

-1

输入样例 #2

6 6
1 2
1 3
2 6
2 5
4 5
3 4
1 5

输出样例 #2

3

说明

解释1：

如上图所示，箭头表示有向道路，圆点表示城市。起点$1 $与终点(3)不连通，所以满足题目描述的路径不存在，故输出(-1) 。

解释2：

如上图所示，满足条件的路径为(1)- >(3)- >(4)- >(5)。注意点(2) 不能在答案路径中，因为点(2)连了一条边到点(6) ，而点(6) 不与终点(5) 连通。

【数据范围】

对于(30\%)的数据，(0 < n le 10)，(0 < m le 20);

对于(60\%)的数据，(0 < n le 100)，(0 < m le 2000);

对于(100\%)的数据，(0 < n le 10000, 0 < m le 200000,0 < x,y,s,t le n, x,s e t)。

分析

此题是一道很好的思路题。看似是一道图论，但这题不重在图论，而在搜索。（所以我没打图论的tag）

首先，一个点和终点的关系，在此题中可以有三种层层递进的特征：

1. 无关系。（任意一个点）
2. 与终点联通的点。
3. 指向的节点都与终点联通的点。

显然题目要我们求的是，由3这种点组成的，连接起点和终点的最短路径。

什么是层层递进呢？也就是说，1这种点包含2这种点，2这种点包含3这种点。

那么此题就可以分作两步：

• 找满足3条件的点
• 求最短路径

求最短路径很简单，况且此题中所有边权都是1，你甚至不用什么最短路算法，直接bfs就可以解决。（如果需要最短路，我就会打上图论的tag了）

目前的问题是，怎么找满足3条件的点。其实刚刚已经剖析了，既然1包含2，2包含3，我们就可以在1中直接找2，然后再在2中找3就可以了。

找到2后，3就很好找了，直接判断这个点的所有边指向的节点是否满足2即可。

问题又变成了，怎么找2？

其实很简单，我们只需要反向建边，反向bfs就可以了。能反bfs到的点就是2点。

所以说，这题思路很妙，但是并不难想吧。

直接上代码：

代码

/*
 * @Author: crab-in-the-northeast 
 * @Date: 2020-09-05 09:20:58 
 * @Last Modified by: crab-in-the-northeast
 * @Last Modified time: 2020-09-06 15:05:15
 */
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <queue>
#include <algorithm>

const int maxn = 10005;
bool valid[maxn], link_end[maxn];

//valid是3点，link_end是2点。如果valid[i]是true代表i点为3点，link_end数组同理

int dis[maxn];//此点到起点的距离

std :: vector <int> side[maxn];//边
std :: vector <int> rev_side[maxn];//反向边

int main() {
    int n, m;
    std :: scanf("%d%d", &n, &m);

    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        int u, v;
        std :: scanf("%d%d", &u, &v);
        side[u].push_back(v);
        rev_side[v].push_back(u);
    }

    int s, t;
    std :: scanf("%d%d", &s, &t);
    link_end[t] = true;
    std :: queue <int> q;

    q.push(t);
    while (!q.empty()) {
        int now = q.front();
        q.pop();
        for (int i = rev_side[now].size() - 1; i >= 0; --i) {
            int v = rev_side[now][i];
            if (!link_end[v]) {
                q.push(v);
                link_end[v] = true;
            }
        }
    }

    if (!link_end[s]) {//注意，如果起始点就不和结尾点联通，那就不可能会有合法路径，直接输出-1即可
        std :: printf("-1
");
        return 0;
    }

    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        if (link_end[i]) {
            valid[i] = true;
            for (int j = side[i].size() - 1; j >= 0; --j) {
                int v = side[i][j];
                if (!link_end[v]) {
                    valid[i] = false;
                    break;
                }
            }
        }

    if (!valid[s]) {//同理，如果起始点就不满足3点的条件，也应该直接输出-1
        std :: printf("-1
");
        return 0;
    }

    dis[s] = 1;
    while (!q.empty()) 
        q.pop();
    q.push(s);
    while (!q.empty()) {
        int now = q.front();
        q.pop();
        if (now == t) {
            std :: printf("%d
", dis[t] - 1);
            return 0;
        }

        for (int i = side[now].size() - 1; i >= 0; --i) {
            int v = side[now][i];
            if (valid[v] && !dis[v]) {
                dis[v] = dis[now] + 1;
                q.push(v);
            }
        }
    }

    std :: printf("-1
");//如果无路，-1
    return 0;
}

评测记录

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