[luogu p2282] 组合数问题

传送门

组合数问题

题目描述

组合数 (inom{n}{m}) 表示的是从 (n) 个物品中选出 (m) 个物品的方案数。举个例子，从 ((1,2,3)) 三个物品中选择两个物品可以有 ((1,2),(1,3),(2,3)) 这三种选择方法。根据组合数的定义，我们可以给出计算组合数 (inom{n}{m}) 的一般公式：

[inom{n}{m}=frac{n!}{m!(n-m)!} ]

其中 (n!=1 imes2 imescdots imes n)；特别地，定义 (0!=1)。

小葱想知道如果给定 (n,m) 和 (k)，对于所有的 (0leq ileq n,0leq jleq min left ( i, m ight )) 有多少对 ((i,j)) 满足 (k|inom{i}{j})。

输入输出格式

输入格式

第一行有两个整数 (t,k)，其中 (t) 代表该测试点总共有多少组测试数据，(k) 的意义见问题描述。

接下来 (t) 行每行两个整数 (n,m)，其中 (n,m) 的意义见问题描述。

输出格式

共 (t) 行，每行一个整数代表所有的 (0leq ileq n,0leq jleq min left ( i, m ight )) 中有多少对 ((i,j)) 满足 (k|inom{i}{j})。

输入输出样例

输入样例 #1

1 2
3 3

输出样例 #1

1

输入样例 #2

2 5
4 5
6 7

输出样例 #2

0
7

说明

【样例1说明】

在所有可能的情况中，只有 (inom{2}{1} = 2) 一种情况是 (2) 的倍数。

【子任务】

• 对于全部的测试点，保证 (0 leq n, m leq 2 imes 10^3)，(1 leq t leq 10^4)。

分析

这题一看就要用 (operatorname{O}(n ^ 2)) 预处理 (operatorname{O}(1)) 回答的算法，那么具体怎么做呢？

首先用杨辉三角预处理出2000内所有的组合数对 (k) 取模的结果。如下：

void init(int k) {
    c[0][0] = c[1][0] = c[1][1] = 1;
    for (int i = 2; i < maxn; ++i) {
        c[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j <= i; ++j) {
            c[i][j] = (c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j]) % k;
        }
    }
}

然后仔细观察题目要求什么：

对于所有的 (0leq ileq n,0leq jleq min left ( i, m ight )) 有多少对 ((i,j)) 满足 (k|inom{i}{j})。

为了方便讨论，若 (m > n)，我们一律令 (n ightarrow m)。

定义 (ans_{i, j}) 为答案数组，用二维前缀和得到公式：

[ans_{i, j} = ans_{i - 1, j} + ans_{i, j - 1} - ans_{i - 1, j - 1} ]

当然，如果我们发现 (k|inom{i}{j})，那么 (ans_{i, j}) 还需自增 (1)。

我们就可以写出这样的代码：

void init(int k) {
    c[0][0] = c[1][0] = c[1][1] = 1;
    for (int i = 2; i < maxn; ++i) {
        c[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j <= i; ++j) {
            c[i][j] = (c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j]) % k;
            ans[i][j] = ans[i - 1][j] + ans[i][j - 1] - ans[i - 1][j - 1];
            if (c[i][j] == 0) ++ans[i][j];
        }
    }
}

然而就这样结束了吗？

如果这样，提交程序，你会发现你的代码能拿到15分的好成绩。

这是为什么呢？

不妨来看看当 (k = 5) 时，ans的表如何。（此处列举了前10*10个）

显然，绿色方块的值是红+蓝-紫。但是你发现没有，红色方块的所在位置已经超出了杨辉三角的预处理范围。（橙色左下方为预处理范围，右上角为非预处理范围），也就是当 (i = j) 时，(ans_{i - 1, j}) 没有被处理。

但是，这个东西其实很好处理，因为 (ans_{i+1, i} = ans_{i, i})。至于这是为什么，见其定义：

对于所有的 (0leq ileq n,0leq jleq min left ( i, m ight )) 有多少对 ((i,j)) 满足 (k|inom{i}{j})。

观察到这个 (min(i, m)) 了吗？这个的意思就是说，当 (m > n) 时，(ans_{m, n}) 和 (ans _{n, n}) 其实是等价的。

同样的道理便可以得到 (ans_{i+1, i} = ans_{i, i})。因此只要在i循环中最后加一句ans[i][i + 1] = ans[i][i];即可。代码如下：

void init(int k) {
    c[0][0] = c[1][0] = c[1][1] = 1;
    for (int i = 2; i < maxn; ++i) {
        c[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j <= i; ++j) {
            c[i][j] = (c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j]) % k;
            ans[i][j] = ans[i - 1][j] + ans[i][j - 1] - ans[i - 1][j - 1];
            if (c[i][j] == 0) ++ans[i][j];
        }
        ans[i][i + 1] = ans[i][i];
    }
}

这样就可以AC啦~上一个整体代码吧！

代码

/*
 * @Author: crab-in-the-northeast 
 * @Date: 2020-10-01 14:01:33 
 * @Last Modified by: crab-in-the-northeast
 * @Last Modified time: 2020-10-01 16:18:48
 */
#include <iostream>
#include <cstdio>

const int maxn = 2005;
const int maxm = 2005;
long long c[maxn][maxm], ans[maxn][maxm];

void init(int k) {
    c[0][0] = c[1][0] = c[1][1] = 1;
    for (int i = 2; i < maxn; ++i) {
        c[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j <= i; ++j) {
            c[i][j] = (c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j]) % k;
            ans[i][j] = ans[i - 1][j] + ans[i][j - 1] - ans[i - 1][j - 1];
            if (c[i][j] == 0) ++ans[i][j];
        }
        ans[i][i + 1] = ans[i][i];
    }
}

int main() {
    int t, k;
    std :: scanf("%d %d", &t, &k);
    init(k);
    while (t--) {
        int n, m;
        std :: scanf("%d %d", &n, &m);
        std :: printf("%lld
", ans[n][m > n ? n : m]);
    }
    return 0;
}

评测记录

评测记录