博客园已挂，表示不想修了，直接来这里看吧
整理一下，不然再过三天就又忘了。
莫比乌斯反演的套路
emmm，因为我做过的题太少了，所以可能非常不全。
以下的式子都是用(sum_{d | n} mu(d) = [n = 1])推出来的，想看"正规"形式的可以参考这里
如果不做特殊说明的话，(frac{n}{k})默认为下取整，保证(n < m)
(sum_{i = 1}^n sum_{j = 1}^m gcd(i, j) = k)
这类应该是最基础的问题
egin{aligned}
&sum_{i = 1}^n sum_{j = 1}^m gcd(i, j) = k
&sum_{i = 1}^{frac{n}{k}} sum_{j = 1}^{frac{m}{k}} [gcd(i, j)]
&sum_{i = 1}^{frac{n}{k}} sum_{j = 1}^{frac{m}{k}} sum_{d | gcd(i, j)} mu(d)
&sum_{i = 1}^{frac{n}{k}} sum_{j = 1}^{frac{m}{k}} sum_{d | i} sum_{d | j}mu(d)
&sum_{d = 1}^n mu(d) sum_{i = 1}^{frac{n}{k}} sum_{d | i} sum_{j = 1}^{frac{m}{k}}sum_{d | j} 1
&sum_{d = 1}^n mu(d) frac{n}{kd} frac{m}{kd}
end{aligned}
然后直接对后面的数论分块就行了
题目
(sum_{i = 1}^n sum_{j = 1}^m gcd(i, j))
按照套路，枚举(gcd)
egin{aligned}
&sum_{d = 1}^n sum_{i = 1}^n sum_{j = 1}^m gcd(i, j) = d
& ext{后面的一坨直接按照第一种套路推，最终会得到}
&sum_{d = 1}^n sum_{k=1}^n mu(k) frac{n}{kd} frac{m}{kd}
& ext{设(T = kd)}
&sum_{T = 1}^n frac{n}{T} frac{m}{T} sum_{d | T} d mu(frac{T}{d})
end{aligned}
设$g(T) = sum_{d | T} d mu(frac{T}{d}) $
不难发现这是个严格的狄利克雷卷积的形式，那么显然(g)也是个积性函数，我们可以直接线性筛预处理后面的部分，数论分块搞前面的。总的复杂度就是(O(n + Tsqrt{n}))
拓展
这里题目最常见的拓展就是在(gcd(i, j))外面再套一个函数，处理的策略都是一样的，化到最后得到的基本也都是积性函数，如果不是就暴力筛，是的话线性筛。至于怎么线性筛积性函数可以看这里。
题目
(prod_{i = 1}^n prod_{j = 1}^m gcd(i, j))
egin{aligned}
&prod_{d = 1}^n d^{{sum_{i = 1}^n sum_{j=1}^m} gcd(i, j) = d}
& ext{然后按照上面的套路推，可以得到下面的式子}
&prod_{d = 1}^n d^{sum_{k=1}^{frac{n}{d}} mu(k) frac{n}{kd}frac{m}{kd}}
& ext{设(T= kd)，枚举(T)}
&prod_{T = 1}^n (prod_{d | T} d^{mu(frac{T}{d})})^{frac{n}{T} frac{m}{T}}
end{aligned}
设(g(T) = prod_{d | T} d^{mu(frac{T}{d})})
到了这里就有必要好好说说了，按照常规的套路反演出的(g(T))应该是个积性函数，然而这里并不是，但是暴力打表之后可以发现一些规律
当(T)为质数的幂时, 设(T = p^q)，那么(g(T) = p)，除此之外(g(T) = 1)
那么直接枚举质数的幂次更新(g)，由于质数的密度大概是(frac{n}{ln n})，而且每个质数的枚举上界为(log n)那么总复杂度为(O(frac{n}{ln n}) log n = O(n))
拓展
这种形式同样有许多的拓展，最常见的也是在(gcd)的那里再套上个什么函数
比如，[SDOI2017]数字表格就是要求
其中(f(i))表示第(i)个斐波那契数
这种题就按照套路推，推到最后一步，如果发现(g(T))不能快速计算就直接暴力枚举因子，不然就xjb找规律。。
小结
莫比乌斯反演的一大特点就是套路性强，但是很多题还是相当有难度的，比如把某个问题转成反演，反演转图论。像我这种菜鸡肯定是这辈子都做不出来的qwq