设 $f$ 是 $bR$ 上周期为 $1$ 的连续可微函数, 满足 $$eelabel{141102_f} f(x)+fsex{x+frac{1}{2}}=f(2x),quadforall x. eee$$ 试证: $f(x)=0$, $forall x$.
证明: (from xida that this proof comes from ``Proofs of the book'' 4th edition, Chapter 23) 设 $g(x)=f'(x)$, 则对 eqref{141102_f} 两边求导有 $$eelabel{141102_g} g(x)+gsex{x+frac{1}{2}}=2g(2x). eee$$ 设 $g$ 在 $x_0in [0,1]$ 上取得最大值 $M$, 则于 eqref{141102_g} 中令 $x=x_0/2$, 则有 $$ex 2Mgeq gsex{frac{x_0}{2}}+gsex{frac{x_0+1}{2}} =2g(x_0)=2M. eex$$ 于是 $$ex gsex{frac{x_0}{2}}=M a g(0)=vlm{n}gsex{frac{x_0}{2^n}}=M. eex$$ 同理, 讨论 $g$ 在 $[0,1]$ 上的最小值 $m$, 我们得到 $$ex g(0)=m. eex$$ 于是 $$ex m=g(0)=M a g=const a f(x)=a+mx, 0leq xleq 1. eex$$ 又 $f(0)=f(1)$, 而 $m=0$, $f(x)=a$. 但由 eqref{141102_f}, $f(x)=0$.