(2014-04-18 from 352558840@qq.com [南开大学 2014 年高等代数考研试题]) 设 $sigma, au$ 为线性变换, 且 $sigma$ 有 $n$ 个不同的特征值. 证明: 若 $sigma au= ausigma$, 则 $ au$ 可由 $I$, $sigma$, $sigma^2$, $cdots$, $sigma^{n-1}$ 线性表出, 其中 $I$ 为恒等变换.
证明: 设 $sigma$ 有 $n$ 个不同的特征值 $lm_1,cdots,lm_n$, 相应的特征向量为 ${f varepsilon}_1,cdots,{f varepsilon}_n$. 则 ${f varepsilon}_1,cdots,{f varepsilon}_n$ 线性无关. 又由 $sigma au= ausigma$ 知 $$ex sigma au({f varepsilon}_i)= ausigma({f varepsilon}_i)=lm_i au({f varepsilon}_i). eex$$ 于是 $ au({f varepsilon}_i)$ 要么为 ${f 0}$, 要么为 $sigma$ 属于 $lm_i$ 的特征向量. 总之, 我们有 $$ex au({f varepsilon}_i)=k_i{f varepsilon}_i. eex$$ 注意到线性方程组 $$ex sex{a{cccc} 1&lm_1&cdots&lm_1^{n-1}\ 1&lm_2&cdots&lm_2^{n-1}\ vdots&vdots&ddots&vdots\ 1&lm_n&cdots&lm_n^{n-1} ea}sex{a{c} a_0\ a_1\ vdots\ a_{n-1} ea} =sex{a{c} k_1\ k_2\ vdots\ k_n ea} eex$$ 有唯一解 $a_i=l_i, 0leq ileq n-1$. 而 $$eex ea au({f varepsilon}_i)&=k_i{f varepsilon}_i\ &=sez{sum_{j=0}^{n-1}l_jlm_i^j}{f varepsilon}_i\ &=sum_{j=0}^{n-1} l_jsigma^j({f varepsilon}_i),quad forall i. eea eeex$$ 于是 $$ex au=sum_{j=0}^{n-1} l_jsigma^j. eex$$ esh