初赛题做到 Bell 数列了，就写一篇看看吧。
虽说这和很多其他数列有关，但是我就暂时只写一篇自己能看懂的 Bell 数列生成函数推导。
在此，我大哥显然已经 AK 了，而我却只是貌似懂了，所以希望指正错误。
定义： Bell 数列第 n 项的定义是把 1∼n 的正整数分配到若干个集合中的方案数.
用 (w_n) 表示 Bell 数列:
[egin{aligned}
large w_{n + 1}
&= [n = 0] + sum_{i=0}^n dbinom{n}{i} w_{n-i} \
&= [n = 0] + sum_{i=0}^{n}dbinom{n}{i} w_i \
end{aligned}
]
设其生成函数为 (hat{W(x)}), 根据指数型生成函数卷积，有：
[egin{aligned}
& e^x=sum_0^infty dfrac{x^i}{i!}(mathrm{Taylor's Formula}), hat{W(x)} = sum_{i=0}^infty w_i dfrac{x^i}{i!}\
iff &e^x hat{W(x)} = sum_{i=0}^infty (sum_{j=0}^i dbinom{i}{j}w_j imes 1)dfrac{x^i}{i!} = sum_{i=0}^infty w_{i+1} dfrac{x^i}{i!} \
iff &int e^x hat{W(x)} mathrm{d}x = hat{W(x)}-1 \
end{aligned}
]
其中积分的效果相当于平移：
[int sum_0^infty f_i dfrac{x^i}{i!} = sum_1^infty f_{i-1} dfrac{x^i}{i!}
]
设 (y = hat{W(x)})，两边同时先微分，再积分：
[egin{aligned}
&int e^x ymathrm{d}x =y-1 \
两边同时微分& iff e^x y=y' iff dfrac{y'}{y} = e^x \
两边同时积分& iffint dfrac{1}{y}y'mathrm{d}x=int e^xmathrm{d}x iff ln y = e^x +C\
&iff y=e^{e^x+C}
end{aligned}
]
因为 (hat{W(x)}=w_0 =[n=0]=1=e^{e^x+C}), 解得 (C=-1)
故 (hat{W(x)} = e^{e^x-1})