LeetCode: Median of Two Sorted Arrays 解题报告

Median of Two Sorted Arrays

There are two sorted arrays A and B of size m and n respectively. Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

SOLTION 1:

1. 我们借用findKthNumber的思想。先实现findKthNumber，如果是偶数个，则把中间2个加起来平均，奇数就用中间的。

2. 为了达到LOG级的复杂度，我们可以这样：

每次在A，B取前k/2个元素。有以下这些情况：

1).  A的元素个数 < k/2. 则我们可以丢弃B前k/2. 反之亦然

证明：

我们使用反证法。

假设第K大在B的前k/2中，例如位置在索引m(m <= k/2-1)那么A必然拥有前k中的k -(m+1)个元素，而

m <= k/2-1,则 m+1 <= k/2  , k - (m+1) >= k/2与条件：A的元素不够k/2矛盾，所以假设不成立，得证。

举个栗子：

A: 6 7 8

B: 1 2 3 4 5

找第8大的数字，

2). A[mid] < B[mid] (mid是k/2 -1索引处的元素）。

这种情况下，我们可以丢弃A前k/2。

证明：

我们使用反证法。

假设第K大在A的前k/2中记为maxK，例如位置在索引m(m <= k/2-1)那么B必然拥有前k中的k -(m+1)个元素，而

m <= k/2-1,则 m+1 <= k/2  , k - (m+1) > k/2

推出B[mid] <= maxK

而A[mid] >= maxK 推出 A[mid]>=B[mid], 与题设矛盾。所以假设不能成立。

举个栗子：

A: 1 2

B: 4 5 6 7 8

找第四大的数字 我们就可以首先排除1，2.

public double findMedianSortedArrays(int A[], int B[]) {
        if (A == null || B == null) {
            return 0;
        }
        
        int len = A.length + B.length;
        
        double ret = 0;
        // 偶数个元素
        if (len % 2 == 0) {
            ret = (findKth(A, B, 0, 0, len / 2) + findKth(A, B, 0, 0, len / 2 + 1)) / (double)2.0;
        } else {
            // 奇数个元素
            ret = findKth(A, B, 0, 0, len / 2 + 1);            
        }
        
        return ret;
    }
    
    // Find the Kth large number.
    public int findKth(int A[], int B[], int indexA, int indexB, int k) {
        int lenA = A.length;
        int lenB = B.length;
        
        if (indexA >= lenA) {
            return B[indexB + k - 1];
        } else if (indexB >= lenB) {
            return A[indexA + k - 1];
        }
        
        // Base Case, pay attention. 在这里必须要退出。因为k = 1的时候，不可能再分了。
        if (k == 1) {
            return Math.min(A[indexA], B[indexB]);
        }
        
        // -1是因为索引本身是从0开始的。而前k大元素含有k个元素。
        int mid = k / 2 - 1;
        
        // 注意，越界条件是 >= lenA. 怎么老是犯这个错误。。
        int keyA = indexA + mid >= lenA ? Integer.MAX_VALUE: A[indexA + mid];
        int keyB = indexB + mid >= lenB ? Integer.MAX_VALUE: B[indexB + mid];
        
        // 因为丢弃了k / 2个元素
        int kNew = k - k / 2;
        
        if (keyA < keyB) {
            return findKth(A, B, indexA + k / 2, indexB, kNew);
        } else {
            return findKth(A, B, indexA, indexB + k / 2, kNew);
        }
    }

 2015.1.25

可以优化一下，在找到kth number时可以及时退出：

public class Solution {
    public double findMedianSortedArrays(int A[], int B[]) {
        //2257
        if (A == null || B == null) {
            return 0;
        }
        
        int len = A.length + B.length;
        if (len % 2 == 0) {
            return (double)(dfs(A, B, 0, 0, len / 2) + dfs(A, B, 0, 0, len / 2 + 1)) / 2.0;
        } else {
            return dfs(A, B, 0, 0, len / 2 + 1);
        }
    }
    
    public double dfs1(int A[], int B[], int aStart, int bStart, int k) {
        if (aStart >= A.length) {
            return B[bStart + k - 1];
        } else if (bStart >= B.length) {
            return A[aStart + k - 1];
        }
        
        if (k == 1) {
            return Math.min(A[aStart], B[bStart]);
        }
        
        // k = 4;
        // mid = 1;
        int mid = k / 2 - 1;
        
        if (aStart + mid >= A.length) {
            // drop the left side of B.
            return dfs(A, B, aStart, bStart + k / 2, k - k / 2);
        } else if (bStart + mid >= B.length) {
            // drop the left side of A.
            return dfs(A, B, aStart + k / 2, bStart, k - k / 2);
        } else if (A[aStart + mid] > B[bStart + mid]) {
            // drop the left side of B.
            return dfs(A, B, aStart, bStart + k / 2, k - k / 2);
        // 当2者相等，有2种情况：
        // 1. 当k为偶数，则kth存在于任何一个结尾处，其实也是可以丢弃一半的。
        // 2. 当k为奇数，则kth不存在于A,B的left side。也是可以丢弃任意一半。
        //} else if (A[aStart + mid] < B[bStart + mid]) {
        } else {
            return dfs(A, B, aStart + k / 2, bStart, k - k / 2);
        }
        
        //return A[aStart + mid];        
    }
    
    public double dfs(int A[], int B[], int aStart, int bStart, int k) {
        if (aStart >= A.length) {
            return B[bStart + k - 1];
        } else if (bStart >= B.length) {
            return A[aStart + k - 1];
        }
        
        if (k == 1) {
            return Math.min(A[aStart], B[bStart]);
        }
        
        // k = 4;
        // mid = 1;
        int mid = k / 2 - 1;
        
        if (aStart + mid >= A.length) {
            // drop the left side of B.
            return dfs(A, B, aStart, bStart + k / 2, k - k / 2);
        } else if (bStart + mid >= B.length) {
            // drop the left side of A.
            return dfs(A, B, aStart + k / 2, bStart, k - k / 2);
        } else if (A[aStart + mid] > B[bStart + mid]) {
            // drop the left side of B.
            return dfs(A, B, aStart, bStart + k / 2, k - k / 2);
        } else if (A[aStart + mid] < B[bStart + mid]) {
            return dfs(A, B, aStart + k / 2, bStart, k - k / 2);
        } else {
            // drop the left side of A.
            //return dfs(A, B, aStart + k / 2, bStart, k - k / 2);
            if (k % 2 == 0){
                return A[aStart + mid];
            }
            
            // can drop both sides.
            return dfs(A, B, aStart + k / 2, bStart + k / 2, 1);
        }
        
        //return A[aStart + mid];        
    }
}

GITHUB:

https://github.com/yuzhangcmu/LeetCode_algorithm/blob/master/array/FindMedianSortedArrays.java