级数$\sum \left (\frac{nr}{n+1}\right)^n$和$\sum\frac{[(n+1)r]^n}{n^{n+1}}$当$r<1$的时候收敛，当$r\geq 1$的时候发散.
证明:
\begin{equation}
\sum\left(\frac{nr}{n+1}\right)^n=\sum \left(\frac{n}{n+1}\right)^nr^n
\end{equation}
而当$n$足够大时，$(\frac{n}{n+1})^n$与$\frac{1}{e}$足够近，因此我们只用考虑如下级数
\begin{equation}
\sum \frac{1}{2.7}r^n
\end{equation}
此级数显然在$r<1$时收敛，所以在$r<1$时$\sum (\frac{nr}{n+1})^n$更是收敛了.在$r\geq 1$时，
\begin{equation}
\sum \frac{1}{2.8}r^n
\end{equation}
发散，因此$r\geq 1$时，$\sum (\frac{nr}{n+1})^n$更是发散了.
下面我们来看
\begin{equation}\label{eq:s}
\sum \frac{[(n+1)r]^n}{n^{n+1}}
\end{equation}
它等于
\begin{equation}
\sum (\frac{n+1}{n})^n \frac{r^n}{n}
\end{equation}
当$n$足够大时，
\begin{equation}
(\frac{n+1}{n})^n
\end{equation}会足够接近$e$.
当$r<1$时，我们看
\begin{equation}\label{eq:8.00.59}
\sum 2.8 \frac{r^n}{n}
\end{equation}
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{r^{n+1}}{n+1}}{\frac{r^n}{n}}=\lim_{n\to\infty}r \frac{n}{n+1}=r<1
\end{equation}
因此级数\ref{eq:8.00.59}收敛，此时\ref{eq:s}更是收敛的.而当$r\geq 1$时，
\begin{equation}
\sum 2.7 \frac{r^n}{n}
\end{equation}易得是发散的，此时\ref{eq:s}更是发散了.