分块矩阵和行列式

引理： 设矩阵
\begin{equation}
H=\begin{pmatrix}
A_1& &*& \\
&A_2 & &\\
& &\ddots& \\
&O& &A_s\\
\end{pmatrix}
\end{equation}
或者
\begin{equation}
H=\begin{pmatrix}
A_1& &O& \\
&A_2 & &\\
& &\ddots& \\
&*& &A_s\\
\end{pmatrix}
\end{equation}
其中$A_1,A_2,\cdots,A_s$均为方阵，则
\begin{equation}
|H|=|A_1||A_2|\cdots|A_s|.
\end{equation}

引理证明:这个，根据行列式的定义是很容易就可以做出来的.我只举一个简单的实例来说明此命题的正确性.比方说，对如下的矩阵$H$进行分割.

\begin{equation}
H=\begin{pmatrix}
|a_{11}&a_{12}|&a_{13}&a_{14}&a_{15}&a_{16}\\
|0 &a_{22}|&a_{23}&a_{24}&a_{25}&a_{26}\\
--&-- & & & & \\
0 &0 &|a_{33}&a_{34}&a_{35}|&a_{36}\\
0 &0 &|0 &a_{44}&a_{45}|&a_{46}\\
0 &0 &|0 &0 &a_{55}|&a_{56}\\
& & -- &-- &-- & \\
0 &0 &0 &0 &0 &|a_{66}|\\
& & & & &--\\
\end{pmatrix}
\end{equation}
很容易看出命题是成立的.

设$A,B$分别为$m$与$n$阶方阵，证明

(1)$A$可逆时，有
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
A&D\\
C&B\\
\end{vmatrix}=|A||B-CA^{-1}D|
\end{equation}
当$B$可逆时，有
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
A&D\\
C&B\\
\end{vmatrix}=|A-DB^{-1}C||B|
\end{equation}

(1)证明:
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
A&D\\
C&B\\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
M&N\\
O&P\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
AM&AN+DP\\
CM&CN+BP\\
\end{pmatrix}
\end{equation}

因此
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
A&D\\
C&B\\
\end{vmatrix}\begin{vmatrix}
M&N\\
O&P\\
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
AM&AN+DP\\
CM&CN+BP\\
\end{vmatrix}
\end{equation}

我们决定让
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
M&N\\
O&P\\
\end{vmatrix}=|A^{-1}|
\end{equation}

这样就能凑出
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
A&D\\
C&B\\
\end{vmatrix}=|A|\begin{vmatrix}
AM&AN+DP\\
CM&CN+BP\\
\end{vmatrix}
\end{equation}的形式了.如果让$M=A^{-1}$,$P=I$,则

\begin{equation}
\begin{vmatrix}
A&D\\
C&B\\
\end{vmatrix}=|A|\begin{vmatrix}
I&AN+D\\
CA^{-1}&CN+B\\
\end{vmatrix}
\end{equation}
不妨让
\begin{equation}
N=-A^{-1}D
\end{equation},则

\begin{equation}
\begin{vmatrix}
A&D\\
C&B\\
\end{vmatrix}=|A|\begin{vmatrix}
I&O\\
CA^{-1}&-CA^{-1}D+B
\end{vmatrix}
\end{equation}
由引理我们知道，
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
I&O\\
CA^{-1}&-CA^{-1}D+B
\end{vmatrix}=|-CA^{-1}D+B|
\end{equation}
综上可见，
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
A&D\\
C&B\\
\end{vmatrix}=|A||-CA^{-1}D+B|
\end{equation}

下面，用(1)来验证(2).首先易得关于分块矩阵有如下结论:

\begin{equation}
\begin{vmatrix}
A&D\\
C&B\\
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
B&C\\
D&A\\
\end{vmatrix}
\end{equation}
而根据(1),
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
B&C\\
D&A\\
\end{vmatrix}=|B||A-DB^{-1}C|
\end{equation}

于是(2)得证.

设$A,C$是两个$n$阶方阵，则

\begin{equation}
\begin{vmatrix}
A&C\\
C&A\\
\end{vmatrix}=|A+C||A-C|
\end{equation}

证明:
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
A&C\\
C&A\\
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
A+C&C+A\\
C&A\\
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
A+C&0\\
C&A-C\\
\end{vmatrix}
\end{equation}
因此，根据引理，有
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
A+C&O\\
C&A-C
\end{vmatrix}=|A+C||A-C|
\end{equation}

设$A,B,C,D$都是$n$阶方阵，如果$AC=CA$,则是否有

\begin{equation}
\begin{vmatrix}
A&D\\
C&B\\
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
AB-CD
\end{vmatrix}
\end{equation}

证明:
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
-C&A\\
P&Q\\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
A&D\\
C&B\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
O&AB-CD\\
PA+QC&PD+QB\\
\end{pmatrix}
\end{equation}

不妨让$P=C,Q=A$,则

\begin{equation}
\begin{pmatrix}
-C&A\\
C&A\\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
A&D\\
C&B\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
O&AB-CD\\
CA+AC&CD+AB\\
\end{pmatrix}
\end{equation}

现在来计算
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
-C&A\\
C&A\\
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
O&2A\\
C&A\\
\end{vmatrix}=2|A||C|
\end{equation}
而
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
O&AB-CD\\
CA+AC&CD+AB
\end{vmatrix}=2|AB-CD||A||C|
\end{equation}

当$|A|$和$|C|$都不为0时，可得

\begin{equation}
\begin{vmatrix}
A&D\\
C&B\\
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
AB-CD
\end{vmatrix}
\end{equation}

当$|A||C|=0$时，似乎还无法判定.

注:可以简化,以及进行稍微推广.

设$A,B,C,D$都是$n$阶方阵，如果$AC=CA$,$A$可逆,则

\begin{equation}
\begin{vmatrix}
A&D\\
C&B\\
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
AB-CD
\end{vmatrix}
\end{equation}

证明:
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
A&D\\
C&B\\
\end{vmatrix}=|A||B-CA^{-1}D|=|AB-ACA^{-1}D|
\end{equation}
由于$AC=CA$,因此
\begin{equation}
|AB-ACA^{-1}D|=|AB-CAA^{-1}D|=|AB-CD|
\end{equation}

还存在另外一种情况,我将之讨论如下:

设$A,B,C,D$都是$n$阶方阵，如果$|A|=|C|=0$,$AC=CA$,则

\begin{equation}
\begin{vmatrix}
A&D\\
C&B\\
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
AB-CD
\end{vmatrix}
\end{equation}

证明:首先，易得当$e\neq 0$,且$|e|$足够小时，
\begin{equation}
  A+eI
\end{equation}可逆.



于是
\begin{equation}
\lim_{e\to 0;e\neq 0}  \begin{vmatrix}
    A+eI&D\\
C&B\\
  \end{vmatrix}=\lim_{e\to 0;e\neq 0}|(A+eI)B-CD|=\lim_{e\to 0;e\neq 0}|AB-CD+eB|=|AB-CD|
\end{equation}

设$A,B,C,D$都是$n$阶方阵，如果$BC=CB$,则
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
A&D\\
C&B\\
\end{vmatrix}=|AB-DC|
\end{equation}

证明:当$B$是可逆矩阵时，我们知道

\begin{equation}
\begin{vmatrix}
A&D\\
C&B
\end{vmatrix}=|AB-DB^{-1}CB|
\end{equation}
由于$BC=CB$,因此
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
A&D\\
C&B\\
\end{vmatrix}=|AB-DB^{-1}BC|=|AB-DC|
\end{equation}
当$B$不是可逆矩阵时，我们知道，对于实数$e$来说，当$|e|$足够小时，
\begin{equation}
B+eI
\end{equation}是可逆矩阵.
此时
\begin{equation}
\lim_{e\to 0;e\neq 0} \begin{vmatrix}
A&D\\
C&B+eI\\
\end{vmatrix}=\lim_{e\to 0;e\neq 0}|A(B+eI)-DC|=|AB-DC|
\end{equation}