拉普拉斯------图拉普拉斯

拉普拉斯------图拉普拉斯

• • 扩展
  • 形式
  • 关联
  • 类比
  • 距离

扩展

拉普拉斯算子处理的对象一般是在欧氏空间中的，而图上的拉普拉斯则是将其拓展到了非欧氏空间上，并且其处理的数据不在是规则区域，而是具有一定拓扑结构的图。

先从离散的拉普拉斯说起：$\left[\begin{array}{ccc}-1& -1& -1\\ -1& 8& -1\\ -1& -1& -1\end{array}\right]$或者$\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -8& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right]$

这里算子的操作主要是对中心点的周围点进行运算，如果类比到图上的话就是对应顶点的邻接点。同样我们也需要定义一个关于顶点的函数来与之前的多元函数对应，并且还要相应的定义偏导与散度。

形式

邻接矩阵$W$：对应描述了各顶点之间与边的关系，对应的$W_{ij}$表示$i,j$之间存在边(有向或无向)，对应值为1(无权)或相应权值(有权)，其余的元素为0。
度矩阵$D$：该矩阵是一个对角矩阵，如果是无向图就对应为每个点的度，分布到对角的相应区域，如果是有向图就是取顶点的出度或者入度作为元素。
拉普拉斯矩阵：$D-W$，度矩阵减去邻接矩阵。

拉普拉斯矩阵为一个实对称矩阵，并且由于其各行各列的元素和为0，所以其不是一个正定矩阵，而是一个半正定矩阵。于是其特征值有$0={\lambda }_1⩽{\lambda }_2⩽{\lambda }_3⩽{\lambda }_4⩽{\lambda }_5....⩽{\lambda }_n$特征值均为非负的。

拉普拉斯矩阵还有其他的形式，比如将其标准化，也就是对角上的数值为1：
$D^{-\frac{1}{2}}L{D}^{-\frac{1}{2}}=I-D^{-\frac{1}{2}}W{D}^{-\frac{1}{2}}$
其中的$I$为单位矩阵。

关联

以一个图为例子：

其关联矩阵为$C=\left[\begin{array}{cccccccc}1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& -1& 1& 0& 0& -1& 0& 1\\ -1& 0& 0& -1& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& -1& 1& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& -1& 1& -1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& -1\end{array}\right]$
其对应的行为顶点$V_1-V_6$，其对应的列为边$e_1-e_8$

进行一个转置相乘$C{C}^T=\left[\begin{array}{cccccccc}1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& -1& 1& 0& 0& -1& 0& 1\\ -1& 0& 0& -1& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& -1& 1& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& -1& 1& -1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& -1& 0& 0& 0\\ 1& -1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& -1& 0\\ 0& -1& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1& -1& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& -1\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{cccccc}2& -1& -1& 0& 0& 0\\ -1& 4& 0& -1& -1& -1\\ -1& 0& 3& -1& -1& 0\\ 0& -1& -1& 3& -1& 0\\ 0& -1& -1& -1& 3& 0\\ 0& -1& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{cccccc}2& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 4& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 3& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 3& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 3& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cccccc}0& 1& 1& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 1& 1& 1\\ 1& 0& 0& 1& 1& 0\\ 0& 1& 1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 1& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

$=D-W=L$
我们通过对关联矩阵的运算得到了拉普拉斯矩阵的形式，但是其描述的是无向图，并且得到的矩阵是一个是实对称矩阵(有向图的描述就不一定了)，拉普拉斯矩阵在这一形式下常用于无向图(转置的操作使得边的方向抵消)，并且在频域卷积(GCNN中)的时候无向图是其前提条件，因此我们主要考虑的是其描述无向图的应用。

类比

首先就是一个函数定义，对应到图中就是一个关于顶点的函数$F_G(V)$，对应离散的顶点就是其自变量，实现一个对顶点的映射。

在欧式空间中，偏导变量之间是要有一个正交的关系的，而在图中我们可以认为各个邻接边之间都是正交的，$\frac{f(x_1,...x_n)-f(x_1^{\prime },...x_n^{\prime })}{x_1-x_1^{\prime }}$描述在$x_1$方向上的变化率($x_1^{\prime }=x_1+d{x}_1$)，其中分母为函数值的差，同样在图中也可以由$F_G(V_2)-F_G(V_1)$来表示，分子表示的就是自变量的变化，类比到图上就是两点之间的边，对应$V_1,V_2$就是需要$e_{12}$(顶点1，2之间的边)，但是这里描述时并不是以边的权值为分母，而是以其倒数，对应所有边表示的方向上的梯度就有如下的形式：

$\left[\begin{array}{c}{e}_1(F_G(V_1)-F_G(V_3))\\ e_2(F_G(V_1)-F_G(V_2))\\ e_3(F_G(V_2)-F_G(V_4))\\ e_4(F_G(V_4)-F_G(V_3))\\ e_5(F_G(V_3)-F_G(V_5))\\ e_6(F_G(V_5)-F_G(V_2))\\ e_7(F_G(V_4)-F_G(V_5))\\ e_8(F_G(V_2)-F_G(V_6))\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}{e}_1& 0& -e_1& 0& 0& 0\\ e_2& -e_2& 0& 0& 0& 0\\ 0& e_3& 0& -e_3& 0& 0\\ 0& 0& -e_4& e_4& 0& 0\\ 0& 0& e_5& 0& -e_5& 0\\ 0& -e_6& 0& 0& e_6& 0\\ 0& 0& 0& e_7& -e_7& 0\\ 0& e_8& 0& 0& 0& -e_8\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{F}_G(V_1)\\ F_G(V_2)\\ F_G(V_3)\\ F_G(V_4)\\ F_G(V_5)\\ F_G(V_6)\\ F_G(V_7)\\ F_G(V_8)\end{array}\right]$

我们记每个边的梯度为$grad(e)$，之后相应的定义散度，用顶点处梯度的变化来描述，对应流入的梯度减去流出的梯度，于是有：
$\left[\begin{array}{c}grad(e_1)+grad(e_2)\\ -grad(e_2)+grad(e_3)-grad(e_6)+grad(e_8)\\ -grad(e_1)-grad(e_4)+grad(e_5)\\ -grad(e_3)+grad(e_4)-grad(e_7)\\ -grad(e_5)+grad(e_6)-grad(e_7)\\ -grad(e_8)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccccc}1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& -1& 1& 0& 0& -1& 0& 1\\ -1& 0& 0& -1& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& -1& 1& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& -1& 1& -1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}grad(e_1)\\ grad(e_2)\\ grad(e_3)\\ grad(e_4)\\ grad(e_5)\\ grad(e_6)\\ grad(e_7)\\ grad(e_8)\end{array}\right]$
与之前的相关矩阵的运算对应。

距离

对应于欧氏空间中的两点之间的距离(坐标差的平方和)，拉普拉斯矩阵其实也对应相似的操作，对应顶点的函数$f(V_i)$与拉普拉斯矩阵$L$：
$f^{T}Lf=f^T(D-W)f=f^{T}Df-f^{T}Wf$
$={\sum }_{i=1}^{n}d(V_i)f(V_i{)}^2-{\sum }_{i,j=1}^n{W}_{ij}f(V_i)f(V_j)$
$=\frac{1}{2}({\sum }_{i=1}^{n}d(V_i)f(V_i{)}^2+{\sum }_{j=1}^{n}d(V_j)f(V_j{)}^2-2{\sum }_{i,j=1}^n{W}_{ij}f(V_i)f(V_j))$
由于$d(V_i)$为顶点的度，所以有$d(V_i)={\sum }_{j=1}^n{W}_{ij}$，原式为：
$=\frac{1}{2}{\sum }_{i,j=1}^n{W}_{ij}(f(V_i)-f(V_j){)}^2$
有类似欧式距离的形式。