从 $n$ 个不同元素中，任取 $m(m leq n)$ 个元素并成一组，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个组合。
从 $n$ 个不同元素中取出 $m(m leq n)$ 个元素的所有组合的个数，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的组合数，用符号 $C_{n}^{m}$ 或 $C(n,m)$ 表示。
每个组合中的元素不管其排列顺序。
那怎么计算这个 $C_{n}^{m}$ 呢？
先来了解一下分步计数原理：完成一件事，需要分成 $n$ 个步骤，做第 $1$ 步有 $m_{1}$ 种不同的方法，做第 $2$ 步有 $m_{2}$ 种不同的方法，做第 $n$
步有 $m_{n}$ 种不同的方法，这 $n$ 个步骤做完之后便得到一种方法，那么完成这件事方法共有
$$N = m_{1}cdot m_{2}cdot ...cdot m_{n}$$
通过下面这张图，可明白为啥每一步需要相乘。
所以，从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的方法共有：$n(n-1)(n-2)cdot cdot cdot (n-m+1)$。
这样计算的话，每个组合中，不同的顺序也算一种不同的方法，为了去掉顺序的影响，需要除以每个组合内部排序的数量 $m!$，所以
$$C_{n}^{m} = frac{n(n-1)(n-2)cdot cdot cdot (n-m+1)}{m!} = frac{n!}{(n-m)!m!}$$
组合数性质
1）$C_{n}^{m} = C_{n}^{n-m}$：将原本的每个组合都反转，把原来没选的选上，原来选了的去掉，即互相替换，这样就变成从 $n$ 个元素种取出 $n−m$ 个元素，
显然方案数是相等的。
2）$C_{n}^{m} = C_{n-1}^{m} + C_{n-1}^{m-1}$：可理解为
a. 含特定元素的组合有 $C_{n-1}^{m-1}$，把那个元素算在里面了，然后从剩下的 $n - 1$ 个元素中再选出 $m-1$ 个元素；
b. 不含特定元素的组合 $C_{n-1}^{m}$，把那个元素排除掉，从剩下 $n - 1$ 个元素里选出全部 $m$ 个元素。
组合数求和公式
$$C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} +...+C_{n}^{n} = 2^{n}$$
把从 $n$ 个球中抽出 $0$ 个球的组合数、抽出 $1$ 个球的组合数、抽出 $2$ 个球的组合数、……、抽出 $n$ 个球的组合数相加。
换句话说，就是从 $n$ 个球中随便抽出一些不定个数球，问一共有多少种组合。
完成这一件事情，可以分为 $n$ 个步骤：
对于第 $1$ 个球，可以选，也可以不选，有 $2$ 种情况。
对于第 $2$ 个球，可以选，也可以不选，有 $2$ 种情况。
对于任意一个球，可以选，也可以不选，有 $2$ 种情况。
根据乘法原理，共有 $2^{n}$ 种选择。
杨辉三角(帕斯卡三角)
1）索引从 $1$ 开始，则第 $n$ 行第 $m$ 个数可以表示为 $C_{n-1}^{m-1}$，即为从 $n−1$ 个不同元素中取 $m−1$ 个元素的组合数。
2）第 $n$ 行的数字有 $n$ 项。
3）每行数字左右对称，即 $C_{n}^{m} = C_{n}^{n-m}$。
4）每个数等于它上方两数之和，即 $C_{n}^{m} = C_{n-1}^{m} + C_{n-1}^{m-1}$。
5）$(a+b)^{n}$ 的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第 $n+1$ 行中的每一项。可以看成组合问题。