动态规划之01背包问题（最易理解的讲解）

01背包问题，是用来介绍动态规划算法最经典的例子，网上关于01背包问题的讲解也很多，我写这篇文章力争做到用最简单的方式，最少的公式把01背包问题讲解透彻。

01背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ),  f[i-1,j] }

f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的背包中，可以取得的最大价值。

Pi表示第i件物品的价值。

决策：为了背包中物品总价值最大化，第 i件物品应该放入背包中吗 ？

 

题目描述：

有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

name	weight	value	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
a	2	6	0	6	6	9	9	12	12	15	15	15
b	2	3	0	3	3	6	6	9	9	9	10	11
c	6	5	0	0	0	6	6	6	6	6	10	11
d	5	4	0	0	0	6	6	6	6	6	10	10
e	4	6	0	0	0	6	6	6	6	6	6	6

只要你能通过找规律手工填写出上面这张表就算理解了01背包的动态规划算法。

首先要明确这张表是至底向上，从左到右生成的。

为了叙述方便，用e2单元格表示e行2列的单元格，这个单元格的意义是用来表示只有物品e时，有个承重为2的背包，那么这个背包的最大价值是0，因为e物品的重量是4，背包装不了。

对于d2单元格，表示只有物品e，d时,承重为2的背包,所能装入的最大价值，仍然是0，因为物品e,d都不是这个背包能装的。

同理，c2=0，b2=3,a2=6。

对于承重为8的背包，a8=15,是怎么得出的呢？

根据01背包的状态转换方程，需要考察两个值，

一个是f[i-1,j],对于这个例子来说就是b8的值9，另一个是f[i-1,j-Wi]+Pi；

在这里，

 f[i-1,j]表示我有一个承重为8的背包，当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值

f[i-1,j-Wi]表示我有一个承重为6的背包（等于当前背包承重减去物品a的重量），当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值

f[i-1,j-Wi]就是指单元格b6,值为9，Pi指的是a物品的价值，即6

由于f[i-1,j-Wi]+Pi = 9 + 6 = 15 大于f[i-1,j] = 9，所以物品a应该放入承重为8的背包

以下是actionscript3 的代码

public function get01PackageAnswer(bagItems:Array,bagSize:int):Array
{
    var bagMatrix:Array=[];
    var i:int;
    var item:PackageItem;
    for(i=0;i<bagItems.length;i++)
    {
        bagMatrix[i] = [0];
    }
    for(i=1;i<=bagSize;i++)
    {
        for(var j:int=0;j<bagItems.length;j++)
        {
            item = bagItems[j] as PackageItem;
            if(item.weight > i)
            {
                //i背包转不下item
                if(j==0)
                {
                    bagMatrix[j][i] = 0;
                }
                else
                {
                    bagMatrix[j][i]=bagMatrix[j-1][i];
                }
            }
            else
            {
                //将item装入背包后的价值总和
                var itemInBag:int;
                if(j==0)
                {
                    bagMatrix[j][i] = item.value;
                    continue;
                }
                else
                {
                    itemInBag = bagMatrix[j-1][i-item.weight]+item.value;
                }
                bagMatrix[j][i] = (bagMatrix[j-1][i] > itemInBag ? bagMatrix[j-1][i] : itemInBag)
            }
        }
    }
    //find answer
    var answers:Array=[];
    var curSize:int = bagSize;
    for(i=bagItems.length-1;i>=0;i--)
    {
        item = bagItems[i] as PackageItem;
        if(curSize==0)
        {
            break;
        }
        if(i==0 && curSize > 0)
        {
            answers.push(item.name);
            break;
        }
        if(bagMatrix[i][curSize]-bagMatrix[i-1][curSize-item.weight]==item.value)
        {
            answers.push(item.name);
            curSize -= item.weight;
        }
    }
    return answers;
}

PackageItem类

public class PackageItem
{
    public var name:String;
    public var weight:int;
    public var value:int;
    public function PackageItem(name:String,weight:int,value:int)
    {
        this.name = name;
        this.weight = weight;
        this.value = value;
    }
}

测试代码

var nameArr:Array=['a','b','c','d','e'];
var weightArr:Array=[2,2,6,5,4];
var valueArr:Array=[6,3,5,4,6];
var bagItems:Array=[];
for(var i:int=0;i<nameArr.length;i++)
{
    var bagItem:PackageItem = new PackageItem(nameArr[i],weightArr[i],valueArr[i]);
    bagItems[i]=bagItem;
}
var arr:Array = ac.get01PackageAnswer(bagItems,10);