题160907（14分）$fleft( x ight)={{x}^{2}}+px+q$，若$fleft( fleft( x ight) ight)=0$只有一个实数根，求证：$p,qge 0$．
题目来源：2011年北大保送生
解：$fleft( fleft( x ight) ight)=0$，即$f{{left( x ight)}^{2}}+pfleft( x ight)+q=0$，
$Delta ={{p}^{2}}-4qge 0$，
（1）若$Delta ={{p}^{2}}-4q>0$，设$fleft( x ight)={{x}_{1}}$，$fleft( x ight)={{x}_{2}}$，${{x}_{1}} e {{x}_{2}}$，
即${{x}^{2}}+px+q-{{x}_{1}}=0$或${{x}^{2}}+px+q-{{x}_{2}}=0$．
依题意，两方程中仅有一解，
不妨设${{Delta }_{1}}={{p}^{2}}-4left( q-{{x}_{1}} ight)<0$，${{Delta }_{1}}={{p}^{2}}-4left( q-{{x}_{2}} ight)=0$，
故${{x}_{1}}<q-dfrac{{{p}^{2}}}{4}<0$，${{x}_{2}}<q-dfrac{{{p}^{2}}}{4}<0$．
再由韦达定理知$q={{x}_{1}}cdot {{x}_{2}}>0$，$p=-left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} ight)<0$．
（2）若$Delta ={{p}^{2}}-4q=0$，设$fleft( x ight)={{x}_{0}}$，
即${{x}^{2}}+px+q-{{x}_{0}}=0$，
依题意${{Delta }_{3}}={{p}^{2}}-4left( q-{{x}_{0}} ight)=0$，所以${{x}_{0}}=0$．
所以$q={{x}_{0}}cdot {{x}_{0}}=0$，$p=-left( {{x}_{0}}+{{x}_{0}} ight)=0$．
综上，$pge 0$，$qge 0$．
法2：$fleft( fleft( x ight) ight)=0$，即$f{{left( x ight)}^{2}}+pfleft( x ight)+q=0$，
由求根公式知$fleft( x ight)=dfrac{-ppm sqrt{{{p}^{2}}-4q}}{2}$，
$fleft( fleft( x ight) ight)=0$有且仅有一个实数解，且$fleft( x ight)in left[ q-dfrac{{{p}^{2}}}{4},+infty ight)$，
所以$fleft( x ight)=dfrac{-p+sqrt{{{p}^{2}}-4q}}{2}$（$fleft( x ight)=dfrac{-p-sqrt{{{p}^{2}}-4q}}{2}$舍去），
且$fleft( x ight)={{x}^{2}}+px+q=dfrac{-p+sqrt{{{p}^{2}}-4q}}{2}$有且仅有一解，
即${{x}^{2}}+px+q-dfrac{-p+sqrt{{{p}^{2}}-4q}}{2}=0$有且仅有一解，
[Delta ={{p}^{2}}-4left( q-dfrac{-p+sqrt{{{p}^{2}}-4q}}{2} ight)=0]．
所以${{p}^{2}}-4q-2p+2sqrt{{{p}^{2}}-4q}=0$，
可得$p=dfrac{1}{2}left( {{p}^{2}}-4q ight)+sqrt{{{p}^{2}}-4q}=dfrac{1}{2}{{left( sqrt{{{p}^{2}}-4q}+1 ight)}^{2}}-dfrac{1}{2}ge 0$，
即$pge 0$，
又$p=dfrac{1}{2}left( {{p}^{2}}-4q ight)+sqrt{{{p}^{2}}-4q}ge sqrt{{{p}^{2}}-4q}$，
从而${{p}^{2}}ge {{p}^{2}}-4q$，即$qge 0$．