风螺旋切线计算的数学验证

风螺旋切线计算的数学验证

2017-10-14 刘崇军 风螺旋线

       在刚刚过去的一周里，全力抵抗节后综合症的你还好吧？在这一周里，有一件对本公众号很重要的事情发生了，那就是“风螺旋的切线与Eθ相垂直”用数学的方法证明了。

        为什么说这件事情很重要呢？因为这首先表示在未来，风螺旋线的相关算法可以全面的接受验证和测试，而不用担心被证伪了。其次，在这个数学基础上，将风螺旋概念泛化而得到的等距螺旋，将会对现有的螺旋线理论带来非常大的改变（感觉像是在做梦，但这个梦越来越真实了）。

        闲话少叙，先来总结一下现有的风螺旋公式：

        现有的风螺旋线公式是基于极坐标系下的表达方式，其中最核心的参数有偏流角DA、半径、Eθ 和 θ等。

        在现代数学中，对极坐标系下曲线的切线计算有着非常成熟的方法（知道的有点晚哈）。核心计算是通过导数方程来实现，具体的步骤是：

1. 将极坐标系转换为直角坐标系的表达方式。

2. 对直角坐标系的f(x)，f(y)函数分别求导数f(x)'、f(y)'。

3. 用k=f(y)'/f(x)'得到切线的斜率公式。

4. 根据给定的(x0,y0)点，得到切线公式：y-y0= k(x-x0)。

        步骤相对简单，实际公式推导就没这么容易了。幸好现在的数学软件（比如:Mathematica）已经可以代替人来完成全部的公式推导过程，因此才有可能在几天的时间内完成整个的验证。

在Mathatica中先列出基础公式及参数：

接下来是切线斜率的验证代码：

        这段代码的核心是将切线的斜率按照反正切函数转换成角度，按照风螺旋的计算方法，θ角倒退一个偏流角DA，再加上90度，就等于切线的角度。这里用倒退后的角度减去切线角度，来观察最终的结果。

        斜率公式是下面的样子（我猜你一定不想看）：

        做到这一步，有这样一种感觉，现代数学家列出的一堆公式，他（她）们未必真的会去看的，公式只是用来传递思路（很可能是计算机生成的），结果是才我们关心的。面对这样的公式我的内心是打鼓的，这么复杂的内容能够实现 θ-DA-ArcTan[k]= Pi/2 的目标么？在经历了多次的（必须的）试错之后，你看到了上面的最终代码，输出的结果也得到了：

上图中Out[1220] 表示这里是第1220次计算的结果（重复次数多了，这个数字就会噌噌往上长，科学没有一帆风顺啊）。结果是激动我心的：90°和270°，风螺旋终于可以大胆上台面了。

风螺旋曲线的验证代码：

最终的风螺旋与切线的叠加效果图：

        反方向风螺旋公式其实很简单，将a角取负值，即可实现。上图中虚线段顺时针外扩的风螺旋即是。Mathematica软件中角度值是逆时针增长的，因此使用 θ-β得到的是逆时针增长的螺旋，使用-θ+β得到的是顺时针增长的螺旋。在计算机软件开发中，通常角度是按顺时针增加，因此，螺旋线的扩展方向刚好相反。无论风螺旋的方向是怎样的，θ角的取值始终必须大于零，表示从基圆圆周开始扩展。θ角小于零的情况下会出现等距螺旋公式突变的情况，这是我目前在进行的另一项“研究”，先保个密哈。

        感谢您耐心的阅读至此，今天的公式很复杂，今天的内容很简单：风螺旋线的切线必定与某个Eθ相垂直，而Eθ与对应的基圆半径相差为一个DA角，正如公众号里一直在重复提到的一样。

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