KM算法及其优化的学习笔记&&bzoj2539: [Ctsc2000]丘比特的烦恼

感谢  http://www.cnblogs.com/vongang/archive/2012/04/28/2475731.html

这篇blog里提供了3个链接……基本上很明白地把KM算法是啥讲清楚了

然而n^4的KM好像并没有什么卵用啊……所以不得不学n^3的

我看了一下各种，大部分blog里写的声称是n^3的KM，其实貌似都是n^4的（包括上面的链接以及上面链接里提供的链接）

这是因为他们有个共同点

他们虽然用slack数的优化组避免了暴力枚举d所消耗的时间，但由于一次增广是n^2的，所以拖慢了复杂度

那么怎么解决这个问题呢？

尛焱轟告诉我们，用bfs增广的KM是n^3的，用dfs增广的KM是n^4的

尛焱轟还告诉我们，可以去UOJ上拉个板子，都是n^3的

于是窝就拉了个策爷的板子来看（然后改了几个变量名，背下来，就学完了……）

为什么dfs会成为算法时间复杂度减小的瓶颈呢？

我们发现，每更新顶标，就要重新从当前点开始dfs找一遍增广路，有很多冗余的操作

实际上，更新完顶标之后，交错树只会增加新的点

那么窝萌不妨用bfs来增广，每次修改完顶标，把没访问到的右侧点的slack值也相应地减去d，那么slack值为0就相当于多了一条可行边，就相当于能够访问到新的节点，也就可以继续找增广路了

这样再把新的点加进队列，就避免了dfs增广的版本中的冗余操作

这样就发挥了slack这一优化的优势，复杂度自然降到O(n^3)

然后窝来帖一下窝的代码（uoj#80 二分图最大权匹配）

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#define ll long long
#define N 405
#define INF (1LL<<60)

using namespace std;
inline int read(){
	int ret=0;char ch=getchar();
	while (ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
	while ('0'<=ch&&ch<='9'){
		ret=ret*10-48+ch;
		ch=getchar();
	}
	return ret; 
}

int n,fx[N],fy[N],prev[N];
ll g[N][N],A[N],B[N],slk[N];
bool visx[N],visy[N];
int q[N],qh,qt;

void aug(int v){
	if (!v) return;
	fy[v]=prev[v];
	aug(fx[prev[v]]);
	fx[fy[v]]=v;
}

void bfs_KM(int _s){
	memset(visx,0,sizeof(visx));
	memset(visy,0,sizeof(visy));
	memset(slk,127,sizeof(slk));
	qh=qt=0;
	q[++qt]=_s;
	for (;;){
		while (qh<qt){
			int u=q[++qh];
			visx[u]=1;
			for (int v=1;v<=n;++v)if (!visy[v]){
				if (A[u]+B[v]==g[u][v]){
					visy[v]=1;
					prev[v]=u;
					if (!fy[v]){aug(v);return;}
					q[++qt]=fy[v];
					continue;
				}
				if (slk[v]>A[u]+B[v]-g[u][v]){
					slk[v]=A[u]+B[v]-g[u][v];
					prev[v]=u;
				}
			}
		}
		ll d=INF;
		for (int i=1;i<=n;++i)
			if (!visy[i]) d=min(d,slk[i]);
		for (int i=1;i<=n;++i){
			if (visx[i]) A[i]-=d;
			if (visy[i]) B[i]+=d;
			else slk[i]-=d;
		}
		for (int v=1;v<=n;++v)if (!visy[v]&&!slk[v]){
			visy[v]=1;
			if (!fy[v]){aug(v);return;}
			q[++qt]=fy[v];
		}
	}
}

ll KM(){
	for (int i=1;i<=n;++i){
		A[i]=-INF;B[i]=0;
		for (int j=1;j<=n;++j)
			A[i]=max(A[i],g[i][j]);
	}
	memset(fx,0,sizeof(fx));
	memset(fy,0,sizeof(fy));
	for (int i=1;i<=n;++i) bfs_KM(i);
	ll ret=0;
	for (int i=1;i<=n;++i) ret+=A[i]+B[i];
	return ret;
}

bool e0[N][N];
int main(){
	int nl=read(),nr=read();
	memset(g,0,sizeof(g));
	memset(e0,0,sizeof(e0));
	for (int m0=read();m0;--m0){
		int u=read(),v=read();
		g[u][v]=read();
		e0[u][v]=1;
	}
	n=max(nl,nr);
	ll ans=KM();
	printf("%lld
",ans);
	for (int i=1;i<=nl;++i)
		printf("%d ",e0[i][fx[i]]*fx[i]);
	puts("");
	return 0;
}

感谢尛焱轟神犇的指点

感谢jcvb神犇的代码

感谢上面的那篇blog以及那篇blog里的链接

更新一下，窝在丘比特的烦恼（KM模板题）里把KM封装了一下，方便大（我）家（拖）学（板）习（子）

顺便提一下此题的几个坑爹的地方：1坐标可能为负，2姓名无视大小写，3必须连n对情侣（也就是说不能连的边权必须赋为-INF）

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <string>
#define N 32
#define INF (1e9)

using namespace std;
inline int read(){
	int ret=0;char ch=getchar();
	bool flag=0;
	while (ch<'0'||ch>'9'){
		flag=ch=='-';
		ch=getchar();
	}
	while ('0'<=ch&&ch<='9'){
		ret=ret*10-48+ch;
		ch=getchar();
	}
	return flag?-ret:ret;
}

struct KM{
	int n;
	int g[N][N],slk[N],A[N],B[N];
	int prev[N],fx[N],fy[N];
	bool visx[N],visy[N];
	int q[N],qh,qt;
	void clear(int _n){
		n=_n;memset(g,0,sizeof(g));
	}
	void AddEdge(int u,int v,int w){
		g[u][v]=w;
	}
	void aug(int v){
		if (!v) return;
		fy[v]=prev[v];
		aug(fx[fy[v]]);
		fx[fy[v]]=v;
	}
	void bfs(int _s){
		memset(visx,0,sizeof(visx));
		memset(visy,0,sizeof(visy));
		memset(slk,127,sizeof(slk));
		qh=qt=0;q[++qt]=_s;
		for (;;){
			while (qh<qt){
				int u=q[++qh];
				visx[u]=1;
				for (int v=1;v<=n;++v)if (!visy[v]){
					if (A[u]+B[v]==g[u][v]){
						visy[v]=1;
						prev[v]=u;
						if (!fy[v]){aug(v);return;}
						q[++qt]=fy[v];
					}
					else if (slk[v]>A[u]+B[v]-g[u][v]){
						slk[v]=A[u]+B[v]-g[u][v];
						prev[v]=u;
					}
				}
			}
			int d=INF;
			for (int i=1;i<=n;++i)if (!visy[i])d=min(d,slk[i]);
			for (int i=1;i<=n;++i){
				if (visx[i]) A[i]-=d;
				if (visy[i]) B[i]+=d;
				else slk[i]-=d;
			}
			for (int v=1;v<=n;++v)
				if (!visy[v]&&!slk[v]){
					visy[v]=1;
					if (!fy[v]){aug(v);return;}
					q[++qt]=fy[v];
				}
		}
	}
	int solve(){
		memset(A,128,sizeof(A));
		memset(B,0,sizeof(B));
		memset(fx,0,sizeof(fx));
		memset(fy,0,sizeof(fy));
		for (int i=1;i<=n;++i)
			for (int j=1;j<=n;++j) A[i]=max(A[i],g[i][j]);
		for (int i=1;i<=n;++i) bfs(i);
		int ret=0;
		for (int i=1;i<=n;++i) ret+=A[i]+B[i];
		return ret;
	}
} km;


int n;
map<string,int> id;
int x[N*2],y[N*2],lmt;
void Upper(string &s){
	int l=s.length();
	for (int i=0;i<l;++i)if (s[i]>'Z') s[i]-=32;
}

int main(){
	string tmp;
	lmt=read();n=read();
	for (int i=1;i<=2*n;++i){
		x[i]=read();y[i]=read();
		cin>>tmp;Upper(tmp);id[tmp]=i;
	}
	km.clear(n);
	for (int i=1;i<=n;++i)
		for (int j=1;j<=n;++j)
			km.AddEdge(i,j,1);
	for (cin>>tmp;tmp!="End";cin>>tmp){
		Upper(tmp);
		int u=id[tmp],v;
		cin>>tmp;Upper(tmp);v=id[tmp];
		if (u>v) swap(u,v);
		km.AddEdge(u,v-n,read());
	}
	for (int i=1;i<=n;++i)
		for (int j=n+1;j<=2*n;++j){
			bool found=(x[i]-x[j])*(x[i]-x[j])+(y[i]-y[j])*(y[i]-y[j])>lmt*lmt;
			for (int k=1;k<=2*n&&!found;++k){
				int A=y[k]-y[j],B=x[k]-x[j],C=y[k]-y[i],D=x[k]-x[i];
				found=A*D==B*C&&(A*C<0||B*D<0);
			}
			if (found) km.AddEdge(i,j-n,-1e7);
		}
	printf("%d
",km.solve());
	return 0;
}