奇怪|说好的求最大值变成了求最小值

前言

大千世界，无奇不有，明明题目说好的求最大值，到最后却变成了求最小值。看来凡事，总有个例外，不能太绝对了。

探究案例

例1【2020北京人大附中高一试题】如图所示，一条直角走廊宽为(a(a>0))，

(1).若位于水平地面上的一根铁棒在此直角走廊内，且(angle BAD= heta)，试求铁棒的长(l)；

分析：(l=AB+BC=cfrac{a}{sin heta}+cfrac{a}{cos heta})，( hetain [0,cfrac{pi}{2}])；

(2).若一根铁棒能水平地通过此直角走廊，求此铁棒的最大长度；

分析：由(1).可知，即求(l=l( heta)=cfrac{a}{sin heta}+cfrac{a}{cos heta})，( hetain [0,cfrac{pi}{2}])的最大值[一般都这样理解，不过此处有坑]；

则(l=a imes cfrac{sin heta+cos heta}{sin hetacdotcos heta})，( hetain [0,cfrac{pi}{2}])

令(t=sin heta+cos heta=sqrt{2}sin( heta+cfrac{pi}{4})in[1, sqrt{2}])，

则由((sin heta+cos heta)^2=t^2)，解得(sin hetacdotcos heta=cfrac{t^2-1}{2})，

故(l( heta)=a imes cfrac{t}{frac{t^2-1}{2}}=a imes cfrac{2t}{t^2-1}=2a imes cfrac{1}{t-frac{1}{t}}=f(t))，(tin[1, sqrt{2}])

则转化为求(f(t))的最大值，令(g(t)=t-cfrac{1}{t})，(g'(t)=1+cfrac{1}{t^2}>0)在(tin[1, sqrt{2}])上恒成立，

故(f(t)_{max}=f(1) ightarrow +infty)，显然不合适了，出了问题；

那么我们结合实际问题想，其实本问题所求的最大值应该转换为函数(f(t))的最小值；

[备注：从铁棒的长度为无穷长逐步缩小，当缩小到一个合适的长度时，此时刚好刚刚水平通过，再从另一个角度，让铁棒的长度从零开始逐步增大，当增大到一个合适的长度时，此时刚好刚刚水平通过，到此，我们艰难的迈过了此题目中的坑]；

这样(f(t)_{min}=f(sqrt{2})=2a imes cfrac{1}{sqrt{2}-frac{1}{sqrt{2}}}=2sqrt{2}a)；

故铁棒能水平地通过此直角走廊的最大长度为(2sqrt{2}a)；

引申：或从形上思考，结合给定的直角走廊的对称性，当( heta=cfrac{pi}{4})时，此时的铁棒的长度即为所求的能顺利通过直角走廊的最大值，也可以计算得到(l_{max}=2sqrt{2}a)；

数学游戏

气氛太沉闷严谨，做个数学实验小游戏看看。

下述实验中(l_{max}=2sqrt{2}a)，大家动手试试看效果。刚刚的；

下述实验中(l_{max}=2sqrt{2}a+0.5)，大家动手试试看效果，已经不能顺利通过了；

(3).如图所示，现有一辆转动灵活的平板车，其平板面是矩形，它的宽(AD=b(0<b<a))，平板车若想顺利通过直角走廊，其长度(l)不能超过多少米？

分析：平板车的长度为(l=cfrac{a}{sin heta}+cfrac{a}{cos heta}-cfrac{b}{ an heta}-b imes an heta)

(=a imes cfrac{sin heta+cos heta}{sin hetacdotcos heta}-b imes cfrac{sin^2 heta+cos^2 heta}{sin hetacdotcos heta})

(=cfrac{a(sin heta+cos heta)-b}{sin hetacdotcos heta})，( hetain [0,cfrac{pi}{2}])

令(t=sin heta+cos heta=sqrt{2}sin( heta+cfrac{pi}{4})in[1, sqrt{2}])，

则由((sin heta+cos heta)^2=t^2)，解得(sin hetacdotcos heta=cfrac{t^2-1}{2})，

则(l=cfrac{at-b}{frac{t^2-1}{2}}=cfrac{2at-2b}{t^2-1}=h(t))， (tin[1, sqrt{2}])，(0<b<a)，

则(l=h(t)=cfrac{2at-2a+2a-2b}{t^2-1}=cfrac{2a}{t+1}+cfrac{2a-2b}{t^2-1}) ^[1]

由于(y=cfrac{2a}{t+1})在(tin[1, sqrt{2}])单调递减，(y=cfrac{2a-2b}{t^2-1})在(tin[1, sqrt{2}])单调递减，

故(l_{min}=h(t)_{min}=h(sqrt{2})=2sqrt{2}a-2b)，[此问同样存在最大值与最小值的转化]

故平板车若想顺利通过直角走廊，长度(l)不能超过(2sqrt{2}a-2b)米.

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1. 此处的另一个常用变形，不过在此处并不适用；
   (l=cfrac{2at-2b}{t^2-1}=cfrac{2at}{t^2-1}-cfrac{2b}{t^2-1}=cfrac{2a}{t-frac{1}{t}}-cfrac{2b}{t^2-1})，
   此时(y=cfrac{2a}{t-frac{1}{t}})在(tin[1, sqrt{2}])单调递减，(y=-cfrac{2b}{t^2-1})在(tin[1, sqrt{2}])单调递增，
   故不能判读函数(h(t))在(tin[1, sqrt{2}])上的单调性，故采用另一种变形。 ↩︎