庆祝通过noip2018初赛，系列五题EP2.
题目描述
跳蚤国有 n 个城市，伟大的跳蚤国王居住在跳蚤国首都中，即 1号城市中。
跳蚤国最大的问题就是饮水问题，由于首都中居住的跳蚤实在太多，跳蚤国王又体恤地将分配给他的水也给跳蚤国居民饮用，这导致跳蚤国王也经常喝不上水。
于是，跳蚤国在每个城市都修建了一个圆柱形水箱，这些水箱完全相同且足够高。一个雨天后，第 i个城市收集到了高度为 hi 的水。由于地理和天气因素的影响，任何两个不同城市收集到的水高度互不相同。
跳蚤国王也请来蚂蚁工匠帮忙，建立了一个庞大的地下连通系统。跳蚤国王每次使用地下连通系统时，可以指定任意多的城市，将这些城市的水箱用地下连通系统连接起来足够长的时间之后，再将地下连通系统关闭。由连通器原理，这些城市的水箱中的水在这次操作后会到达同一高度，并且这一高度等于指定的各水箱高度的平均值。
由于地下连通系统的复杂性，跳蚤国王至多只能使用 k次地下连通系统。跳蚤国王请你告诉他，首都 1号城市水箱中的水位最高能有多高？
输入输出格式
输入格式：
输入的第一行包含 3个正整数 n,k,p，分别表示跳蚤国中城市的数量，跳蚤国王能使用地下连通系统的最多次数，以及你输出的答案要求的精度。p 的含义将在输出格式中解释。
接下来一行包含 n个正整数，描述城市的水箱在雨后的水位。其中第 i 个 正整数 hi表示第 i 个城市的水箱的水位。保证 hi 互不相同，1le h_i le10^51≤hi≤105。
输出格式：
输出仅一行一个实数，表示 1 号城市的水箱中的最高水位。
这个实数只可以包含非负整数部分、小数点和小数部分。其中非负整数部分为必需部分，不加正负号。若有小数部分，则非负整数部分与小数部分之间以一个小数点隔开。若无小数部分，则不加小数点。
你输出的实数在小数点后不能超过 2p 位，建议保留至少 p位。数据保证参考答案与真实答案的绝对误差小于 10^{-2p}10−2p。
你的输出被判定为正确当且仅当你的输出与参考答案的绝对误差小于 $10^{−p}$。此外，每个测试点你将有可能获得部分分。
如果你的输出与参考答案的绝对误差不小于 10^{-p}10−p 但小于 10^{-5}10−5，你可以获得该测试点 40% 的分数。
输入输出样例
说明
由于至多使用一次地下连通系统，有以下 5 种方案：
-
不使用地下连通系统：此时 1 号城市的水箱水位为 1。
-
使用一次连通系统，连通 1、2 号：此时 11 号城市的水箱水位为 5/2。
-
使用一次连通系统，连通 1、3 号：此时 1 号城市的水箱水位为 2/2。
-
使用一次连通系统，连通 2、3号：此时 1 号城市的水箱水位为 1。
-
使用一次连通系统，连通 1、2、3号：此时 11 号城市的水箱水位为 8/3。
为保证答案精度，我们一般需要尽可能地在运算过程中保留超过 p位小数。我们可以证明，在各个子任务的参考算法中都能保证，在任何时候始终保留 6/5p位小数时，对任何输入得到的输出，与参考答案的绝对误差都小于 10^−p。
为了方便选手处理高精度小数，我们提供了定点高精度小数类。选手可以根据自己的需要参考与使用该类，也可以不使用该类。其具体的使用方法请参考下发的文档 decimal.pdf。
解题思路：
经过一系列推导之后可以发现这就是一个dp+斜率优化，但是高精度小数需要使用他给的板子（于是代码长度就超过了上一篇冰雪小屋）
（庆祝通过noip2018提高组初赛的第二题）
下面上代码：
1#include<bits/stdc++.h>
2#define N 8005
3using namespace std;
4int a[N],sum[N],pre[N][20],q[N*2];
5double dp[N][20];
6int n,k,p,st,lim,kk,l,r;
7double x;
8
9
10// ---------- decimal lib start ----------
11
12const int PREC = 3332;
13
14class Decimal {
15 public:
16 Decimal();
17 Decimal(const std::string &s);
18 Decimal(const char *s);
19 Decimal(int x);
20 Decimal(long long x);
21 Decimal(double x);
22
23 bool is_zero() const;
24
25 // p (p > 0) is the number of digits after the decimal point
26 std::string to_string(int p) const;
27 double to_double() const;
28
29 friend Decimal operator + (const Decimal &a, const Decimal &b);
30 friend Decimal operator + (const Decimal &a, int x);
31 friend Decimal operator + (int x, const Decimal &a);
32 friend Decimal operator + (const Decimal &a, long long x);
33 friend Decimal operator + (long long x, const Decimal &a);
34 friend Decimal operator + (const Decimal &a, double x);
35 friend Decimal operator + (double x, const Decimal &a);
36
37 friend Decimal operator - (const Decimal &a, const Decimal &b);
38 friend Decimal operator - (const Decimal &a, int x);
39 friend Decimal operator - (int x, const Decimal &a);
40 friend Decimal operator - (const Decimal &a, long long x);
41 friend Decimal operator - (long long x, const Decimal &a);
42 friend Decimal operator - (const Decimal &a, double x);
43 friend Decimal operator - (double x, const Decimal &a);
44
45 friend Decimal operator * (const Decimal &a, int x);
46 friend Decimal operator * (int x, const Decimal &a);
47
48 friend Decimal operator / (const Decimal &a, int x);
49
50 friend bool operator < (const Decimal &a, const Decimal &b);
51 friend bool operator > (const Decimal &a, const Decimal &b);
52 friend bool operator <= (const Decimal &a, const Decimal &b);
53 friend bool operator >= (const Decimal &a, const Decimal &b);
54 friend bool operator == (const Decimal &a, const Decimal &b);
55 friend bool operator != (const Decimal &a, const Decimal &b);
56
57 Decimal & operator += (int x);
58 Decimal & operator += (long long x);
59 Decimal & operator += (double x);
60 Decimal & operator += (const Decimal &b);
61
62 Decimal & operator -= (int x);
63 Decimal & operator -= (long long x);
64 Decimal & operator -= (double x);
65 Decimal & operator -= (const Decimal &b);
66
67 Decimal & operator *= (int x);
68
69 Decimal & operator /= (int x);
70
71 friend Decimal operator - (const Decimal &a);
72
73 // These can't be called
74 friend Decimal operator * (const Decimal &a, double x);
75 friend Decimal operator * (double x, const Decimal &a);
76 friend Decimal operator / (const Decimal &a, double x);
77 Decimal & operator *= (double x);
78 Decimal & operator /= (double x);
79
80 private:
81 static const int len = PREC / 9 + 1;
82 static const int mo = 1000000000;
83
84 static void append_to_string(std::string &s, long long x);
85
86 bool is_neg;
87 long long integer;
88 int data[len];
89
90 void init_zero();
91 void init(const char *s);
92};
93
94Decimal::Decimal() {
95 this->init_zero();
96}
97
98Decimal::Decimal(const char *s) {
99 this->init(s);
100}
101
102Decimal::Decimal(const std::string &s) {
103 this->init(s.c_str());
104}
105
106Decimal::Decimal(int x) {
107 this->init_zero();
108
109 if (x < 0) {
110 is_neg = true;
111 x = -x;
112 }
113
114 integer = x;
115}
116
117Decimal::Decimal(long long x) {
118 this->init_zero();
119
120 if (x < 0) {
121 is_neg = true;
122 x = -x;
123 }
124
125 integer = x;
126}
127
128Decimal::Decimal(double x) {
129 this->init_zero();
130
131 if (x < 0) {
132 is_neg = true;
133 x = -x;
134 }
135
136 integer = (long long)x;
137 x -= integer;
138
139 for (int i = 0; i < len; i++) {
140 x *= mo;
141 if (x < 0) x = 0;
142 data[i] = (int)x;
143 x -= data[i];
144 }
145}
146
147void Decimal::init_zero() {
148 is_neg = false;
149 integer = 0;
150 memset(data, 0, len * sizeof(int));
151}
152
153bool Decimal::is_zero() const {
154 if (integer) return false;
155 for (int i = 0; i < len; i++) {
156 if (data[i]) return false;
157 }
158 return true;
159}
160
161void Decimal::init(const char *s) {
162 this->init_zero();
163
164 is_neg = false;
165 integer = 0;
166
167 // find the first digit or the negative sign
168 while (*s != 0) {
169 if (*s == '-') {
170 is_neg = true;
171 ++s;
172 break;
173 } else if (*s >= 48 && *s <= 57) {
174 break;
175 }
176 ++s;
177 }
178
179 // read the integer part
180 while (*s >= 48 && *s <= 57) {
181 integer = integer * 10 + *s - 48;
182 ++s;
183 }
184
185 // read the decimal part
186 if (*s == '.') {
187 int pos = 0;
188 int x = mo / 10;
189
190 ++s;
191 while (pos < len && *s >= 48 && *s <= 57) {
192 data[pos] += (*s - 48) * x;
193 ++s;
194 x /= 10;
195 if (x == 0) {
196 ++pos;
197 x = mo / 10;
198 }
199 }
200 }
201}
202
203void Decimal::append_to_string(std::string &s, long long x) {
204 if (x == 0) {
205 s.append(1, 48);
206 return;
207 }
208
209 char _[30];
210 int cnt = 0;
211 while (x) {
212 _[cnt++] = x % 10;
213 x /= 10;
214 }
215 while (cnt--) {
216 s.append(1, _[cnt] + 48);
217 }
218}
219
220std::string Decimal::to_string(int p) const {
221 std::string ret;
222
223 if (is_neg && !this->is_zero()) {
224 ret = "-";
225 }
226
227 append_to_string(ret, this->integer);
228
229 ret.append(1, '.');
230
231 for (int i = 0; i < len; i++) {
232 // append data[i] as "%09d"
233 int x = mo / 10;
234 int tmp = data[i];
235 while (x) {
236 ret.append(1, 48 + tmp / x);
237 tmp %= x;
238 x /= 10;
239 if (--p == 0) {
240 break;
241 }
242 }
243 if (p == 0) break;
244 }
245
246 if (p > 0) {
247 ret.append(p, '0');
248 }
249
250 return ret;
251}
252
253double Decimal::to_double() const {
254 double ret = integer;
255
256 double k = 1.0;
257 for (int i = 0; i < len; i++) {
258 k /= mo;
259 ret += k * data[i];
260 }
261
262 if (is_neg) {
263 ret = -ret;
264 }
265
266 return ret;
267}
268
269bool operator < (const Decimal &a, const Decimal &b) {
270 if (a.is_neg != b.is_neg) {
271 return a.is_neg && (!a.is_zero() || !b.is_zero());
272 } else if (!a.is_neg) {
273 // a, b >= 0
274 if (a.integer != b.integer) {
275 return a.integer < b.integer;
276 }
277 for (int i = 0; i < Decimal::len; i++) {
278 if (a.data[i] != b.data[i]) {
279 return a.data[i] < b.data[i];
280 }
281 }
282 return false;
283 } else {
284 // a, b <= 0
285 if (a.integer != b.integer) {
286 return a.integer > b.integer;
287 }
288 for (int i = 0; i < Decimal::len; i++) {
289 if (a.data[i] != b.data[i]) {
290 return a.data[i] > b.data[i];
291 }
292 }
293 return false;
294 }
295}
296
297bool operator > (const Decimal &a, const Decimal &b) {
298 if (a.is_neg != b.is_neg) {
299 return !a.is_neg && (!a.is_zero() || !b.is_zero());
300 } else if (!a.is_neg) {
301 // a, b >= 0
302 if (a.integer != b.integer) {
303 return a.integer > b.integer;
304 }
305 for (int i = 0; i < Decimal::len; i++) {
306 if (a.data[i] != b.data[i]) {
307 return a.data[i] > b.data[i];
308 }
309 }
310 return false;
311 } else {
312 // a, b <= 0
313 if (a.integer != b.integer) {
314 return a.integer < b.integer;
315 }
316 for (int i = 0; i < Decimal::len; i++) {
317 if (a.data[i] != b.data[i]) {
318 return a.data[i] < b.data[i];
319 }
320 }
321 return false;
322 }
323}
324
325bool operator <= (const Decimal &a, const Decimal &b) {
326 if (a.is_neg != b.is_neg) {
327 return a.is_neg || (a.is_zero() && b.is_zero());
328 } else if (!a.is_neg) {
329 // a, b >= 0
330 if (a.integer != b.integer) {
331 return a.integer < b.integer;
332 }
333 for (int i = 0; i < Decimal::len; i++) {
334 if (a.data[i] != b.data[i]) {
335 return a.data[i] < b.data[i];
336 }
337 }
338 return true;
339 } else {
340 // a, b <= 0
341 if (a.integer != b.integer) {
342 return a.integer > b.integer;
343 }
344 for (int i = 0; i < Decimal::len; i++) {
345 if (a.data[i] != b.data[i]) {
346 return a.data[i] > b.data[i];
347 }
348 }
349 return true;
350 }
351}
352
353bool operator >= (const Decimal &a, const Decimal &b) {
354 if (a.is_neg != b.is_neg) {
355 return !a.is_neg || (a.is_zero() && b.is_zero());
356 } else if (!a.is_neg) {
357 // a, b >= 0
358 if (a.integer != b.integer) {
359 return a.integer > b.integer;
360 }
361 for (int i = 0; i < Decimal::len; i++) {
362 if (a.data[i] != b.data[i]) {
363 return a.data[i] > b.data[i];
364 }
365 }
366 return true;
367 } else {
368 // a, b <= 0
369 if (a.integer != b.integer) {
370 return a.integer < b.integer;
371 }
372 for (int i = 0; i < Decimal::len; i++) {
373 if (a.data[i] != b.data[i]) {
374 return a.data[i] < b.data[i];
375 }
376 }
377 return true;
378 }
379}
380
381bool operator == (const Decimal &a, const Decimal &b) {
382 if (a.is_zero() && b.is_zero()) return true;
383 if (a.is_neg != b.is_neg) return false;
384 if (a.integer != b.integer) return false;
385 for (int i = 0; i < Decimal::len; i++) {
386 if (a.data[i] != b.data[i]) return false;
387 }
388 return true;
389}
390
391bool operator != (const Decimal &a, const Decimal &b) {
392 return !(a == b);
393}
394
395Decimal & Decimal::operator += (long long x) {
396 if (!is_neg) {
397 if (integer + x >= 0) {
398 integer += x;
399 } else {
400 bool last = false;
401 for (int i = len - 1; i >= 0; i--) {
402 if (last || data[i]) {
403 data[i] = mo - data[i] - last;
404 last = true;
405 } else {
406 last = false;
407 }
408 }
409 integer = -x - integer - last;
410 is_neg = true;
411 }
412 } else {
413 if (integer - x >= 0) {
414 integer -= x;
415 } else {
416 bool last = false;
417 for (int i = len - 1; i >= 0; i--) {
418 if (last || data[i]) {
419 data[i] = mo - data[i] - last;
420 last = true;
421 } else {
422 last = false;
423 }
424 }
425 integer = x - integer - last;
426 is_neg = false;
427 }
428 }
429 return *this;
430}
431
432Decimal & Decimal::operator += (int x) {
433 return *this += (long long)x;
434}
435
436Decimal & Decimal::operator -= (int x) {
437 return *this += (long long)-x;
438}
439
440Decimal & Decimal::operator -= (long long x) {
441 return *this += -x;
442}
443
444Decimal & Decimal::operator /= (int x) {
445 if (x < 0) {
446 is_neg ^= 1;
447 x = -x;
448 }
449
450 int last = integer % x;
451 integer /= x;
452
453 for (int i = 0; i < len; i++) {
454 long long tmp = 1LL * last * mo + data[i];
455 data[i] = tmp / x;
456 last = tmp - 1LL * data[i] * x;
457 }
458
459 if (is_neg && integer == 0) {
460 int i;
461 for (i = 0; i < len; i++) {
462 if (data[i] != 0) {
463 break;
464 }
465 }
466 if (i == len) {
467 is_neg = false;
468 }
469 }
470
471 return *this;
472}
473
474Decimal & Decimal::operator *= (int x) {
475 if (x < 0) {
476 is_neg ^= 1;
477 x = -x;
478 } else if (x == 0) {
479 init_zero();
480 return *this;
481 }
482
483 int last = 0;
484 for (int i = len - 1; i >= 0; i--) {
485 long long tmp = 1LL * data[i] * x + last;
486 last = tmp / mo;
487 data[i] = tmp - 1LL * last * mo;
488 }
489 integer = integer * x + last;
490
491 return *this;
492}
493
494Decimal operator - (const Decimal &a) {
495 Decimal ret = a;
496 // -0 = 0
497 if (!ret.is_neg && ret.integer == 0) {
498 int i;
499 for (i = 0; i < Decimal::len; i++) {
500 if (ret.data[i] != 0) break;
501 }
502 if (i < Decimal::len) {
503 ret.is_neg = true;
504 }
505 } else {
506 ret.is_neg ^= 1;
507 }
508 return ret;
509}
510
511Decimal operator + (const Decimal &a, int x) {
512 Decimal ret = a;
513 return ret += x;
514}
515
516Decimal operator + (int x, const Decimal &a) {
517 Decimal ret = a;
518 return ret += x;
519}
520
521Decimal operator + (const Decimal &a, long long x) {
522 Decimal ret = a;
523 return ret += x;
524}
525
526Decimal operator + (long long x, const Decimal &a) {
527 Decimal ret = a;
528 return ret += x;
529}
530
531Decimal operator - (const Decimal &a, int x) {
532 Decimal ret = a;
533 return ret -= x;
534}
535
536Decimal operator - (int x, const Decimal &a) {
537 return -(a - x);
538}
539
540Decimal operator - (const Decimal &a, long long x) {
541 Decimal ret = a;
542 return ret -= x;
543}
544
545Decimal operator - (long long x, const Decimal &a) {
546 return -(a - x);
547}
548
549Decimal operator * (const Decimal &a, int x) {
550 Decimal ret = a;
551 return ret *= x;
552}
553
554Decimal operator * (int x, const Decimal &a) {
555 Decimal ret = a;
556 return ret *= x;
557}
558
559Decimal operator / (const Decimal &a, int x) {
560 Decimal ret = a;
561 return ret /= x;
562}
563
564Decimal operator + (const Decimal &a, const Decimal &b) {
565 if (a.is_neg == b.is_neg) {
566 Decimal ret = a;
567 bool last = false;
568 for (int i = Decimal::len - 1; i >= 0; i--) {
569 ret.data[i] += b.data[i] + last;
570 if (ret.data[i] >= Decimal::mo) {
571 ret.data[i] -= Decimal::mo;
572 last = true;
573 } else {
574 last = false;
575 }
576 }
577 ret.integer += b.integer + last;
578 return ret;
579 } else if (!a.is_neg) {
580 // a - |b|
581 return a - -b;
582 } else {
583 // b - |a|
584 return b - -a;
585 }
586}
587
588Decimal operator - (const Decimal &a, const Decimal &b) {
589 if (!a.is_neg && !b.is_neg) {
590 if (a >= b) {
591 Decimal ret = a;
592 bool last = false;
593 for (int i = Decimal::len - 1; i >= 0; i--) {
594 ret.data[i] -= b.data[i] + last;
595 if (ret.data[i] < 0) {
596 ret.data[i] += Decimal::mo;
597 last = true;
598 } else {
599 last = false;
600 }
601 }
602 ret.integer -= b.integer + last;
603 return ret;
604 } else {
605 Decimal ret = b;
606 bool last = false;
607 for (int i = Decimal::len - 1; i >= 0; i--) {
608 ret.data[i] -= a.data[i] + last;
609 if (ret.data[i] < 0) {
610 ret.data[i] += Decimal::mo;
611 last = true;
612 } else {
613 last = false;
614 }
615 }
616 ret.integer -= a.integer + last;
617 ret.is_neg = true;
618 return ret;
619 }
620 } else if (a.is_neg && b.is_neg) {
621 // a - b = (-b) - (-a)
622 return -b - -a;
623 } else if (a.is_neg) {
624 // -|a| - b
625 return -(-a + b);
626 } else {
627 // a - -|b|
628 return a + -b;
629 }
630}
631
632Decimal operator + (const Decimal &a, double x) {
633 return a + Decimal(x);
634}
635
636Decimal operator + (double x, const Decimal &a) {
637 return Decimal(x) + a;
638}
639
640Decimal operator - (const Decimal &a, double x) {
641 return a - Decimal(x);
642}
643
644Decimal operator - (double x, const Decimal &a) {
645 return Decimal(x) - a;
646}
647
648Decimal & Decimal::operator += (double x) {
649 *this = *this + Decimal(x);
650 return *this;
651}
652
653Decimal & Decimal::operator -= (double x) {
654 *this = *this - Decimal(x);
655 return *this;
656}
657
658Decimal & Decimal::operator += (const Decimal &b) {
659 *this = *this + b;
660 return *this;
661}
662
663Decimal & Decimal::operator -= (const Decimal &b) {
664 *this = *this - b;
665 return *this;
666}
667
668// ---------- decimal lib end ----------
669
670
671void read(){
672 scanf("%d%d%d",&n,&k,&p);
673 kk=k;
674 cin >> a[1];
675 for (int i=2;i<=n;i++)
676 scanf("%d",&a[i]);
677 sort(a+2,a+1+n);
678 for (int i=2;i<=n;i++)
679 if (a[i]>a[1]){
680 st=i;
681 break;
682 }
683 for (int i=1;i<=(n-st+1);i++)
684 a[i+1]=a[i+st-1];
685 n=n-st+2;
686 for (int i=1;i<=n;i++)
687 sum[i]=sum[i-1]+a[i];
688 for (int i=1;i<=n;i++)
689 dp[i][0]=a[1];
690 lim=min(n,k);
691 lim=min(lim,14);
692// cout << n << " nnnnn nnn " << endl;
693// for (int i=1;i<=3;i++)
694// cout << a[i] << " ";
695// cout << " a aaaaaaaa aaa " << endl;
696}
697double X(int x){
698 return x;
699}
700double Y(int j,int y){
701 return sum[y]-dp[y][j-1];
702}
703double slope(int j,int x,int y){
704 return (Y(j,x)-Y(j,y))/(X(x)-X(y));
705}
706double slope1(int i,int j,int x,int y){
707 double res;
708 res=((Y(j,x)-Y(j,y))/(sum[i]-sum[x]+dp[x][j-1]));
709 return res;
710}
711Decimal getans(int i,int j){
712 if (j==0) return a[1];
713 return (getans(pre[i][j],j-1)+sum[i]-sum[pre[i][j]])/(i-pre[i][j]+1);
714}
715double f(int i,int j){
716 return sum[i]-dp[i][j];
717}
718void solve(){
719 q[0]=1;
720 for (int j=1;j<=lim;j++){
721 l=r=0;
722 for (int i=2;i<=n;i++){
723// while (l<r && slope1(i,j,q[l],q[l+1])>=(q[l]-q[l+1])/(i-q[l]+1) ) l++;
724 while (l<r && 1.0*(q[l]-q[l+1])/(i-q[l]+1)<=(f(q[l],j-1)-f(q[l+1],j-1))/(sum[i]-f(q[l],j-1))) l++;
725 int k=q[l];
726 dp[i][j]=(dp[k][j-1]+sum[i]-sum[k])/(i-k+1);
727 pre[i][j]=k;
728 while (l<r && slope(j,q[r-1],q[r])>=slope(j,q[r],i)) r--;
729 q[++r]=i;
730 }
731 }
732 int mx=0,m=n-kk+lim; if (m<2)m=2;
733 for (int i=0;i<=lim;i++)
734 if (dp[m][i]>dp[m][mx]) mx=i;
735
736 Decimal ans;
737 ans=getans(m,mx);
738 for (int i=m+1;i<=n;i++)
739 ans=(ans+a[i])/2;
740 std::cout << ans.to_string((p<<1)<=3500?p<<1:3500) << std::endl;
741}
742int main(){
743// freopen("1721-1.in","r",stdin);
744 read();
745 solve();
746 return 0;
747}