bzoj 1001 狼抓兔子 平面图最小割

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1001

题意：给出一张平面图。左上角点为(1,1),右下角点为(N,M)。有以下三种类型的道路 1:(x,y)<==>(x+1,y) 2:(x,y)<==>(x,y+1) 3:(x,y)<==>(x+1,y+1) 道路上的权值表示这条路上最多能够通过的兔子数，道路是无向的. 左上角和右下角为兔子的两个窝，开始时所有的兔子都聚集在左上角(1,1)的窝里，现在它们要跑到右下解(N,M)的窝中去。如果一条道路上最多通过的兔子数为K，狼王需要安排同样数量的K只狼，才能完全封锁这条道路。求最少需要多少只狼参与伏击。

思路：

直接看就是和URAL1277相似的，但是权在边上的，直接求按原图求最小割就可以了。但是注意到N和M最大都可以到达1000。

那么直接求就会有1000*1000多个点，直接网络流显然是无法通过的。

解法参考了周冬的《两极相通——浅析最大—最小定理在信息学竞赛中的应用》

http://wenku.baidu.com/link?url=s1CLBaSaebWus8uhmBXbQ9kavGt6DtacdyQ1wCN3rxwaGFa2hq7C3epT4nVC8bgKbr_uz6sOtxmIEOrYtBRo1Ko-0-xLiwrzM9LH47YICe_

平面图有性质：

1.（欧拉公式）如果一个连通的平面图有n个点，m条边和f个面，那么f=m-n+2

2. 每个平面图G都有一个与其对偶的平面图G*， G*中的每个点对应G中的一个面，对于G中的每条边e e属于两个面f1、f2，加入边(f1*， f2*)。

而平面图G与其对偶图G*，G的面数等于G*的点数，G*的点数等于G的面数，G与G*边数相同 G*中的环对应G中的割一一对应。

如图，把s和t连起来，形成一个附加面0，把0设为G*的s，13设为G*的t，去掉0和13之间的边。

然后用堆优化的dijkstra求s到t的最短路就可以了，用spfa也可以做。

要注意的是当N=1或者M=1的时候需要特判一下。

//#include <bits/stdc++.h>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
#define maxn 2000010
#define inf 0x3f3f3f3f
struct Edge
{
    int to, val, next;
}edges[maxn*3];
struct HeapNode
{
    int d, u;
    HeapNode(int dd, int uu){d = dd; u = uu;}
    bool operator < (const HeapNode& rhs) const
    {
        return d > rhs.d;
    }
};
int s, t;
int cnt;
int head[maxn];
void AddEdge(int from, int to, int val)
{
    edges[cnt].to = to;
    edges[cnt].val = val;
    edges[cnt].next = head[from];
    head[from] = cnt++;
    
    edges[cnt].to = from;
    edges[cnt].val = val;
    edges[cnt].next = head[to];
    head[to] = cnt++;
}
int N, M;
int d[maxn], vis[maxn];
void dijkstra()
{
    priority_queue <HeapNode> q;
    for(int i = s; i <= t; i++) d[i] = inf;
    d[s] = 0;
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    q.push(HeapNode(0, s));
    while(!q.empty())
    {
        HeapNode x = q.top(); q.pop();
        int u = x.u;
        if(vis[u]) continue;
        vis[u] = 1;
        for(int i = head[u]; i != -1; i = edges[i].next)
        {
            Edge &e = edges[i];
            if(d[e.to] > d[u] + e.val)
            {
                d[e.to] = d[u] + e.val;
                q.push(HeapNode(d[e.to], e.to));
            }
        } 
    }
    printf("%d
", d[t]); 
}
int main() 
{
   // freopen("in.txt", "r", stdin);
   // freopen("out.txt", "w", stdout);
    while(~scanf("%d%d", &N, &M))
    {
        if(N == 1 || M == 1)
        {
            int ans = inf;
            if(N == 1 && M == 1){printf("0
"); continue;}
            int w;
            for(int i = 1; i <= N; i++) for(int j = 1; j <= M-1; j++)
            {
                scanf("%d", &w); ans = min(ans, w);
            }
            for(int i = 1; i <= N-1; i++) for(int j = 1; j <= M; j++)
            {
                scanf("%d", &w); ans = min(ans, w);
            }
            printf("%d
", ans); continue;
        }
        cnt = 0; int w;
        memset(head, -1, sizeof(head));
        s = 0; t = (N-1)*(M-1)*2+1;
        int add = (N-1)*(M-1);
        for(int i = 1; i <= N; i++)
        {
            for(int j = 1; j <= M-1; j++)
            {
                scanf("%d", &w);
                if(i == 1) AddEdge(t, (i-1)*(M-1)+j+add, w);
                else if(i == N) AddEdge(s, (i-2)*(M-1)+j, w);
                else AddEdge((i-2)*(M-1)+j, (i-1)*(M-1)+j+add, w);
            }
        }
        for(int i = 1; i <= N-1; i++)
        {
            for(int j = 1; j <= M; j++)
            {
                scanf("%d", &w);
                if(j == 1) AddEdge(s, (i-1)*(M-1)+j, w);
                else if(j == M) AddEdge(t, (i-1)*(M-1)+j-1+add, w);
                else AddEdge((i-1)*(M-1)+j-1+add, (i-1)*(M-1)+j, w);
            }
        }
        for(int i = 1; i <= N-1; i++)
        {
            for(int j = 1; j <= M-1; j++)
            {
                scanf("%d", &w);
                AddEdge((i-1)*(M-1)+j, (i-1)*(M-1)+j+add, w);
            }
        }
        dijkstra();
        
    }
    return 0;
}