1.$$[f(n)=1]=sum_{dmid n}mu(d)$$
证明
[egin{align} sum_{dmid n}mu(d) =& mu(1)+mu(p_1)+mu(p_2)+cdots+mu(p_k)+mu(p_1p_2)+cdots+mu(p_1p_2cdots p_k) \ =& inom{k}{0}+inom{k}{1}(-1)+inom{k}{2}(-1)^2+cdots+inom{k}{k}(-1)^k \ =&(1-1)^k=0 end{align}
]
-
[sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m[gcd(i,j)=x]\=sum_{d=1}^{min(lfloorfrac{n}{x} floor,lfloorfrac{m}{x} floor)}lfloorfrac n{dx} floorlfloorfrac m{dx} floor ]
证明:
先提x出来$$sum_{i=1}^{n/x}sum_{j=1}^{m/x}[gcd(i,j)=1]$$
用结论1来表示中括号里的东西:
[sum_{i=1}^{n/x}sum_{j=1}^{m/x}sum_{dmid gcd(i,j)}mu(d)
]
发现把d提到前面,d是gcd(i,j)的约数,所以一共有(lfloorfrac n{id} floor*lfloorfrac m{id} floor)对i,j它们的gcd被d整除的条件所以改为枚举d
[sum_{d=1}^nlfloorfrac n{id}
floor*lfloorfrac m{id}
floor
]
[sigma=id*e
]
[varphi=id*mu
]
[mu*u=e
]
[id=varphi*u
]
其中(sigma)是约数个数,id是映射到自己的函数,u是把所有数映射到1的函数,e是单位元函数,(varphi)是欧拉函数,(mu)是莫比乌斯函数.
对于第一个式子,直接把右边卷积算就是显然了.
对于第二个式子就是把右边卷积然后,右边看成一个容斥的式子就好了.
对于第三个式子,就是说明(mu)是单位元函数在卷积意义下的逆元.
对于最后一个式子,两边同乘一个单位元,然后右边的单位元和(mu)抵掉,就变成这个形式了.
[if(T=dt)
]
[sum_{d=1}^nsum_{t=1}^{lfloorfrac nd
floor}iffsum_{T=1}^nsum_{dmid T}
]