补充：特征归一化，意义、方法、使用场景
一：单变量线性回归
（一）导入需要使用的包
import numpy as np import pandas as pd import matplotlib.pyplot as plt
（二）导入数据集
注意：一定要将数据文件放在和程序同一个文件夹中，否则要使用绝对路径访问文件。
将csv文件读入并转化为数据框DataFrame形式,需要知道路径，指定哪一行作为表头，默认为0，即甚至第一行作为表头，若没有表头，则设置参数header=None,并主动指定列的名称,用列表表示，来添加列名。
6.1101,17.592 5.5277,9.1302 8.5186,13.662 7.0032,11.854 5.8598,6.8233 8.3829,11.886 7.4764,4.3483 8.5781,12 6.4862,6.5987 5.0546,3.8166 5.7107,3.2522 14.164,15.505 5.734,3.1551 8.4084,7.2258 5.6407,0.71618 5.3794,3.5129 6.3654,5.3048 5.1301,0.56077 6.4296,3.6518 7.0708,5.3893 6.1891,3.1386 20.27,21.767 5.4901,4.263 6.3261,5.1875 5.5649,3.0825 18.945,22.638 12.828,13.501 10.957,7.0467 13.176,14.692 22.203,24.147 5.2524,-1.22 6.5894,5.9966 9.2482,12.134 5.8918,1.8495 8.2111,6.5426 7.9334,4.5623 8.0959,4.1164 5.6063,3.3928 12.836,10.117 6.3534,5.4974 5.4069,0.55657 6.8825,3.9115 11.708,5.3854 5.7737,2.4406 7.8247,6.7318 7.0931,1.0463 5.0702,5.1337 5.8014,1.844 11.7,8.0043 5.5416,1.0179 7.5402,6.7504 5.3077,1.8396 7.4239,4.2885 7.6031,4.9981 6.3328,1.4233 6.3589,-1.4211 6.2742,2.4756 5.6397,4.6042 9.3102,3.9624 9.4536,5.4141 8.8254,5.1694 5.1793,-0.74279 21.279,17.929 14.908,12.054 18.959,17.054 7.2182,4.8852 8.2951,5.7442 10.236,7.7754 5.4994,1.0173 20.341,20.992 10.136,6.6799 7.3345,4.0259 6.0062,1.2784 7.2259,3.3411 5.0269,-2.6807 6.5479,0.29678 7.5386,3.8845 5.0365,5.7014 10.274,6.7526 5.1077,2.0576 5.7292,0.47953 5.1884,0.20421 6.3557,0.67861 9.7687,7.5435 6.5159,5.3436 8.5172,4.2415 9.1802,6.7981 6.002,0.92695 5.5204,0.152 5.0594,2.8214 5.7077,1.8451 7.6366,4.2959 5.8707,7.2029 5.3054,1.9869 8.2934,0.14454 13.394,9.0551 5.4369,0.61705
path = 'ex1data1.txt' data = pd.read_csv(path,header=None,names=['Population','Profit']) data.head() #数据预览
data.describe() #查看数据描述，包括计数，平均值，标准差，最大最小值，分位数...
（三）数据可视化
data.plot(kind='scatter',x='Population',y="Profit",figsize=(12,8)) plt.show()
由图可知，数据集存在一定的线性关系。
（四）创建代价函数
首先，我们将创建一个以参数θ为特征函数的代价函数
def computeCost(X,y,theta): #输入X是列向量，y也是列向量，theta是行向量
inner = np.power(((X*theta.T)-y),2) #X乘以theta的转置就是假设函数
return np.sum(inner)/(2*len(X)) #求得代价函数
举例：
补充：numpy中关于*和dot的区别
对于上面的X*theta.T，我们使用了“*”运算符，进行了矩阵乘法操作。但是我们如果将*当作矩阵乘法，那么我们必须保证两边操作数类型是matrix矩阵类型。另外dot也可以实现矩阵乘法，但是它要求传参是ndarray类型，并且两个数组保持第一个矩阵列数等于第二个矩阵行数。
举例：
X_3 = np.array([[1,2],[3,4],[5,6]]) tt = np.array([[2,3]]) print(X_3.dot(tt.T)) print(np.matrix(X_3)*np.matrix(tt).T)
（五）虽说我们是单变量线性回归，但是我们还是存在一个x_0，全为1，使得我们存在一个常数θ_0
因此，我们需要在训练集中添加一列x_0，以便我们可以使用向量化的解决方案来计算代价和梯度。在训练集左侧插入一列全为1的列，以便计算。
即设置x_0=1,loc=0,name=ones,values=1.
data.insert(0,'Ones',1)
（六）进行变量初始化
cols = data.shape[1] #获取列数 shape[0]是行数 X = data.iloc[:,0:cols-1] #获取数据集 y = data.iloc[:,cols-1:cols] #获取标签值---目标变量
观察X训练集和y目标变量是否正确：
原始数据data: X数据集： y目标变量：
（七）代价函数中传参X,y应该是numpy矩阵，才可以直接计算
由（六）中获取的数据类型是DataFrame类型，因此，我们需要进行类型转换。同时还需要初始化theta,即把theta所有元素都设置为0
X = np.matrix(X.values) y = np.matrix(y.values) theta = np.matrix(np.array([0,0])) #theta是一个(1，2)矩阵
代价函数测试：
computeCost(X,y,theta)
（八）批量梯度下降
当x_0=1时，两个式子可以合并
def gradientDescennt(X,y,theta,alpha,iters): #iters是迭代次数 alpha是步长
temp = np.matrix(np.zeros(theta.shape)) #构建零值矩阵，暂存theta
parameters = int(theta.ravel().shape[1]) #ravel计算需要求解的参数个数 功能将多维数组降至一维
cost = np.zeros(iters) #构建iters个0的数组
for i in range(iters): #进行迭代
error = (X*theta.T)-y #获取差值
for j in range(parameters): #更新theta_j
term = np.multiply(error,X[:,j]) #乘以x_i 因为x_0等于1，所以这个式包含theta_0,theta_1
temp[0,j] = theta[0,j] - (alpha/len(X))*np.sum(term) #更新theta_j
theta = temp #更新全部theta值
cost[i] = computeCost(X,y,theta) #更新代价值
return theta, cost
这里设置：步长alpha = 0.01 迭代次数iters = 1000
g,cost = gradientDescennt(X,y,theta,alpha,iters) #获取迭代后的theta值，和代价最小值 print(g,cost[-1]) #cost[-1]就是我们最后的最小代价值
（九）可以用我们拟合过的theta值---g,计算训练模型的代价参数（可以省略）
computeCost(X,y,g)
（十）绘制线性模型以及数据，观察拟合程度
#进行绘图 x = np.linspace(data.Population.min(),data.Population.max(),100) #抽取100个样本 f = g[0,0]+(g[0,1]*x) #线性函数，利用x抽取的等距样本绘制线性直线 fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,8)) #返回图表以及图表相关的区域，为空代表绘制区域为111--->一行一列图表，选中第一个 ax.plot(x,f,'r',label="Prediction") #绘制直线 ax.scatter(data.Population,data.Profit,label='Training Data') #绘制散点图 ax.legend(loc=4) #显示标签位置 给图加上图例 'lower right' : 4, ax.set_xlabel("Population") ax.set_ylabel("Profit") ax.set_title("Predicted Profit vs Population Size") plt.show()
绘制代价图---代价总是降低的：
fig, ax = plt.subplots() #返回图表以及图表相关的区域，为空代表绘制区域为111--->一行一列图表，选中第一个 ax.plot(np.arange(iters),cost,'r') ax.set_xlabel('Iterations') ax.set_ylabel('Cost') ax.set_title("Error vs. Training Epoch") plt.show()
（十一）全部代码
import numpy as np import pandas as pd import matplotlib.pyplot as plt def computeCost(X,y,theta): #输入X是列向量，y也是列向量，theta是行向量 inner = np.power(((X*theta.T)-y),2) #X乘以theta的转置就是假设函数 return np.sum(inner)/(2*len(X)) #求得代价函数 def gradientDescennt(X,y,theta,alpha,iters): #iters是迭代次数 temp = np.matrix(np.zeros(theta.shape)) #构建零值矩阵，暂存theta parameters = int(theta.ravel().shape[1]) #ravel计算需要求解的参数个数 功能将多维数组降至一维 cost = np.zeros(iters) #构建iters个0的数组 for i in range(iters): #进行迭代 error = (X*theta.T)-y #获取差值 for j in range(parameters): #更新theta_j term = np.multiply(error,X[:,j]) #乘以x_i 因为x_0等于1，所以这个式包含theta_0,theta_1 temp[0,j] = theta[0,j] - (alpha/len(X))*np.sum(term) #更新theta_j theta = temp #更新全部theta值 cost[i] = computeCost(X,y,theta) #更新代价值 return theta, cost path = 'E:PythonMachineLearningex1data1.txt' data = pd.read_csv(path,header=None,names=['Population','Profit']) data.insert(0,'Ones',1) cols = data.shape[1] #获取列数 shape[0]是行数 X = data.iloc[:,0:cols-1] #获取数据集 y = data.iloc[:,cols-1:cols] #获取标签值---目标变量 X = np.matrix(X.values) y = np.matrix(y.values) theta = np.matrix(np.array([0,0])) alpha = 0.01 iters = 1000 g,cost = gradientDescennt(X,y,theta,alpha,iters) #获取迭代后的theta值，和代价最小值 #进行绘图 fig, ax = plt.subplots() #返回图表以及图表相关的区域，为空代表绘制区域为111--->一行一列图表，选中第一个 ax.plot(np.arange(iters),cost,'r') ax.set_xlabel('Iterations') ax.set_ylabel('Cost') ax.set_title("Error vs. Training Epoch") plt.show() # x = np.linspace(data.Population.min(),data.Population.max(),100) #抽取100个样本 # f = g[0,0]+(g[0,1]*x) #线性函数，利用x抽取的等距样本绘制线性直线 # # fig, ax = plt.subplots() #返回图表以及图表相关的区域，为空代表绘制区域为111--->一行一列图表，选中第一个 # ax.plot(x,f,'r',label="Prediction") #绘制直线 # ax.scatter(data.Population,data.Profit,label='Training Data') #绘制散点图 # ax.legend(loc=4) #显示标签位置 # ax.set_xlabel("Population") # ax.set_ylabel("Profit") # ax.set_title("Predicted Profit vs Population Size") # plt.show() # print(g,cost[-1]) # print(computeCost(X,y,g)) # data.plot(kind='scatter',x='Population',y="Profit",figsize=(12,8)) # plt.show()
二：多变量线性回归
该练习包括一个房屋价格数据集，其中包含两个变量（房屋大小、卧室数量）和目标（房子价格）。
2104,3,399900 1600,3,329900 2400,3,369000 1416,2,232000 3000,4,539900 1985,4,299900 1534,3,314900 1427,3,198999 1380,3,212000 1494,3,242500 1940,4,239999 2000,3,347000 1890,3,329999 4478,5,699900 1268,3,259900 2300,4,449900 1320,2,299900 1236,3,199900 2609,4,499998 3031,4,599000 1767,3,252900 1888,2,255000 1604,3,242900 1962,4,259900 3890,3,573900 1100,3,249900 1458,3,464500 2526,3,469000 2200,3,475000 2637,3,299900 1839,2,349900 1000,1,169900 2040,4,314900 3137,3,579900 1811,4,285900 1437,3,249900 1239,3,229900 2132,4,345000 4215,4,549000 2162,4,287000 1664,2,368500 2238,3,329900 2567,4,314000 1200,3,299000 852,2,179900 1852,4,299900 1203,3,239500
（一）读取数据
path = 'E:PythonMachineLearningex1data2.txt' data = pd.read_csv(path,header=None,names=['Size','Bedrooms','Price'])
（二）特征归一化（新增预处理步骤）
有时不同特征之间数组的绝对值差距比较大。10000+,0.000+导致数值较大的将数值较小的特征掩盖掉，并且会影响算法收敛的速度。
这里采用标准差标准化： x =(x - u)/σ u是均值 σ是标准差
data = (data-data.mean())/data.std()
（三）其他步骤同一，需要修改维度
def computeCost(X,y,theta): #输入X是列向量，y也是列向量，theta是行向量 inner = np.power(((X*theta.T)-y),2) #X乘以theta的转置就是假设函数 return np.sum(inner)/(2*len(X)) #求得代价函数 def gradientDescennt(X,y,theta,alpha,iters): #iters是迭代次数 temp = np.matrix(np.zeros(theta.shape)) #构建零值矩阵，暂存theta parameters = int(theta.ravel().shape[1]) #ravel计算需要求解的参数个数 功能将多维数组降至一维 cost = np.zeros(iters) #构建iters个0的数组 for i in range(iters): #进行迭代 error = (X*theta.T)-y #获取差值 for j in range(parameters): #更新theta_j term = np.multiply(error,X[:,j]) #乘以x_i 因为x_0等于1，所以这个式包含theta_0,theta_1 temp[0,j] = theta[0,j] - (alpha/len(X))*np.sum(term) #更新theta_j theta = temp #更新全部theta值 cost[i] = computeCost(X,y,theta) #更新代价值 return theta, cost
data.insert(0,'Ones',1) cols = data.shape[1] #获取列数 shape[0]是行数 X = data.iloc[:,0:cols-1] #获取数据集 y = data.iloc[:,cols-1:cols] #获取标签值---目标变量 X = np.matrix(X.values) y = np.matrix(y.values) theta = np.matrix(np.array([0,0,0])) alpha = 0.01 iters = 1000 g,cost = gradientDescennt(X,y,theta,alpha,iters) #获取迭代后的theta值，和代价最小值
（四）查看代价函数收敛图
#进行绘图 fig, ax = plt.subplots() #返回图表以及图表相关的区域，为空代表绘制区域为111--->一行一列图表，选中第一个 ax.plot(np.arange(iters),cost,'r') ax.set_xlabel('Iterations') ax.set_ylabel('Cost') ax.set_title("Error vs. Training Epoch") plt.show()
多变量也是随着迭代次数的增加，他的训练误差也是逐渐减小。
三：补充正规方程求θ
（一）求解θ
正规方程是通过求解下面的方程来找出使得代价函数最小的参数的：
假设我们的训练集特征矩阵为 X（包含了x_0=1）并且我们的训练集结果为向量 y，则利用正规方程解出向量 θ:
上标T代表矩阵转置，上标-1 代表矩阵的逆。
（二）梯度下降与正规方程的比较：
梯度下降：
需要选择学习率α，需要多次迭代，当特征数量n大时也能较好适用，适用于各种类型的模型
正规方程：
不需要选择学习率α，一次计算得出，需要计算
，如果特征数量n较大则运算代价大，因为矩阵逆的计算时间复杂度为O(n3)，通常来说当n小于10000 时还是可以接受的，只适用于线性模型，不适合逻辑回归模型等其他模型
# 正规方程 def normalEqn(X, y): theta = np.linalg.inv(X.T@X)@X.T@y#X.T@X等价于X.T.dot(X) return theta
final_theta2=normalEqn(X, y)#感觉和批量梯度下降的theta的值有点差距
final_theta2
梯度下降得到的结果是matrix([[-3.24140214, 1.1272942 ]])和上面得到的值有出入。