• 康托展开和逆康托展开


    康托展开是一个全排列到一个自然数的双射,常用于构建哈希表时的空间压缩。 康托展开的实质是计算当前排列在所有由小到大全排列中的顺序,因此是可逆的。

    解决的问题类型:有一组元素,按字典序从小排到大,在所有的组合类型中,某个组合排第几?(从0开始排,或者说比该组合小的组合个数有多少)

    公式:康托展开值x = a[n-1]*(n-1)! + a[n-2]*(n-2)! + ...... + a[i]*i! + ......+ a[1]*1! + a[0]*0! ;

    a[i]为整数,表示当前未出现元素排第几个(从0开始排,或者说比该元素小的元素个数)

    举例说明,有{1,2,3,4,5} 5个元素。按字典序排列,最小的排列组合是12345,最大的排列组合是54321,计算34152的康托展开值。n=5。

    第一位是3,3在未出现的元素12345这5个元素中排第3,但是从0开始排,a[4]=2;

    第二位是4,4在未出现的元素1245中排第3(3已经出现过了)从0开始排,a[3]=2;

    第三位是1,1在未出现的元素125中排第1(3和4已经出现过了),从0开始排,a[2]=0;

    第四位是5,在未出现的元素25中,比5小的元素有1个,a[1]=1;

    第五位是2,在未出现的元素2中,比2小的元素有0个,a[0]=0;

    x = a[4]*4! + a[3]*3! + a[2]*2! + a[1]*1! + a[0]*0!

    x = 2*4! + 2*3! + 0*2! + 1*1! +0*0! = 61

    按照正常人的逻辑,从0开始排,排到61,就是所谓的62。

    逆康托展开:求在所有全排列中排在第x位的组合是什么?

    举例说明,在{1,2,3,4,5}的排列组合中,排在第62位的是多少?

    62-1=61。n=5,从(n-1)的阶乘(n-1)!开始除。

    61 / 4! = 2......13,说明a[4]=2,在所有未出现的元素12345中比首位小的数有2个,显然是3

    13 / 3! = 2......1,说明a[3]=2,在所有未出现的元素1245中比第二位小的数有2个,显然是4

    1  / 2! = 0......1,说明a[2]=0,在所有未出现的元素125中比第三位小的数有0个,显然是1

    1 /  1!= 1......0,说明a[1]=1,在所有未出现的元素25中比第四位小的数有1个,显然是5

    最后一个,a[0]=0,最后一个就是2了

    所以排列组合是34152。

    139-我排第几个

    内存限制:64MB 时间限制:1000ms 
    难度:3

    题目描述:

    现在有"abcdefghijkl”12个字符,将其所有的排列中按字典序排列,给出任意一种排列,说出这个排列在所有的排列中是第几小的?

    输入描述:

    第一行有一个整数n(0<n<=10000);
    随后有n行,每行是一个排列;

    输出描述:

    输出一个整数m,占一行,m表示排列是第几位;

    样例输入:

    3
    abcdefghijkl
    hgebkflacdji
    gfkedhjblcia

    样例输出:

    1
    302715242
    260726926

    AC代码:

    #include<stdio.h>
    #include<algorithm>
    #include<string.h>
    #include<string>
    #include<sstream>
    #include<iostream>
    using namespace std;
    
    int fact[13];
    string a,s;
    void f()///打印阶乘表
    {
        fact[0]=fact[1]=1;
        for(int i=2;i<13;i++)
            fact[i]=fact[i-1]*i;
    }
    
    int num(char b)
    {
        string str="";
        int len=s.size();
        for(int i=0;i<len;i++)///把字符b截掉,更新后的字符串放在str里,等下再还给s,相当于更新s
        {
            if(s[i]!=b)
                str=str+s[i];
        }
        for(int i=0;i<len;i++)
            if( b==s[i] )
            {
                s=str;      ///返回i之前再复制
                return i;
            }
        return 0;
    }
    
    int cantor()
    {
        int res=0;
        int lena=a.size();
        for(int i=0;i<lena;i++)
        {
            res=res+ num(a[i])*fact[11-i];
        }
        return res;
    }
    
    int main()///NYOJ139,康托展开
    {
        f();
        int t;
        cin>>t;
        while(t--)
        {
            cin>>a;
            s="abcdefghijkl";///全局变量s作为副本,每次减少一个字符,表示该字符已经出现过了
            printf("%d
    ",cantor()+1);
        }
        return 0;
    }

    143-第几是谁?

    内存限制:64MB 时间限制:3000ms
    难度:3

    题目描述:

    现在有"abcdefghijkl”12个字符,将其按字典序排列,如果给出任意一种排列,我们能说出这个排列在所有的排列中是第几小的。但是现在我们给出它是第几小,需要你求出它所代表的序列.

    输入描述:

    第一行有一个整数n(0<n<=10000);
    随后有n行,每行是一个整数m,它代表着序列的第几小;

    输出描述:

    输出一个序列,占一行,代表着第m小的序列。

    样例输入:

    3
    1
    302715242
    260726926

    样例输出:

    abcdefghijkl
    hgebkflacdji
    gfkedhjblcia

    AC代码:

    #include<stdio.h>
    #include<algorithm>
    #include<string.h>
    #include<string>
    #include<sstream>
    #include<iostream>
    using namespace std;
    
    int fact[13],x,y;
    string a,s;
    void f()///打印阶乘表
    {
        fact[0]=fact[1]=1;
        for(int i=2;i<13;i++)
            fact[i]=fact[i-1]*i;
    }
    void cantor()
    {
        a="";
        for(int i=0;i<12;i++)
        {
            y=x/fact[11-i];
            x=x%fact[11-i];
            a=a+s[y];
            s=s.substr(0,y)+s.substr(y+1);
            ///相同的函数名,不同参数。
            ///前者是从下标为0的地方开始截取,截取y个字符,则下标为y的没有被截进去。
            ///后者是截取下标为y+1的字符直到末尾
        }
    }
    int main()///NYOJ143,逆康托展开
    {
        f();
        int t;
        cin>>t;
        while(t--)
        {
            cin>>x;
            x--;
            s="abcdefghijkl";///全局变量s作为副本,每次减少一个字符,表示该字符已经出现过了
            cantor();
            cout<<a<<endl;
        }
        return 0;
    }
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/shoulinniao/p/10261706.html
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