洛谷P3951 小凯的疑惑
题目描述
小凯手中有两种面值的金币，两种面值均为正整数且彼此互素。每种金币小凯都有 无数个。在不找零的情况下，仅凭这两种金币，有些物品他是无法准确支付的。现在小 凯想知道在无法准确支付的物品中，最贵的价值是多少金币？注意：输入数据保证存在 小凯无法准确支付的商品。
输入输出格式
输入格式：
两个正整数 a 和 b，它们之间用一个空格隔开，表示小凯中金币的面值。
输出格式：
一个正整数 N，表示不找零的情况下，小凯用手中的金币不能准确支付的最贵的物品的价值。
输入输出样例
说明
【输入输出样例 1 说明】
小凯手中有面值为3和7的金币无数个，在不找零的前提下无法准确支付价值为1,2,4,5,8,11 的物品，其中最贵的物品价值为 11，比11 贵的物品都能买到，比如：
【数据范围与约定】
小学奥数法
运用公式a*x+b*y=k，max(k)=a*b-a-b
我对小奥一窍不通，更别说什么同余那些东西了
我的理解：假设两种钱每种最少要拿一次（也就是不能不拿），不能凑成的最小钱数为k，因为a和b互质，显然,k = a * b，(当k = a * b 时，由于ab互质，要么a拿b个，要么b拿a个)。 由于a和b可以一样都不拿，所以ans = k - a - b = a * b - a - b吧。。。
感觉貌似有那么点道理
2019-07-16 21:05:54更新
今天我在回顾博客园时，问了大佬一个问题：我写的对了吗？
突然自己都发现有问题
原本的题解，貌似是当时看懂了一位大佬后，照搬过来的呢。。。
有点bug，比如说k的定义？
不能凑成的最小钱数为k
既然不能凑成，那么哪来的k=a*b？
所以，旧东西有些是要检查，然后舍弃的呢！
看看能不能开学后问问老板吧
更新完毕
不过还是看具体公式推导吧
其实，这道题目是一道数学定理——赛瓦维斯特定理：已知a,b为大于1的正整数，(a,b)=1,则使不定方程ax+by=Cax+by=C无负整数解的最大整数C=ab−a−bC=ab−a−b！ 证明： 若存在x,y>=0x,y>=0满足 ax+by=ab−a−bax+by=ab−a−b 则a(x+1)+b(y+1)=aba(x+1)+b(y+1)=ab 于是a|(y+1)a|(y+1),b|(x+1)b|(x+1) (a(x+1)=b(a−y−1)a(x+1)=b(a−y−1)，有 a,b互质，所以b|(x+1)b|(x+1)。a|(y+1)a|(y+1)同理） 又x+1>=1,y+1>=1x+1>=1,y+1>=1 故a(x+1)+b(y+1)>=a∗b+b∗a=2aba(x+1)+b(y+1)>=a∗b+b∗a=2ab (因为b|(x+1)b|(x+1),所以b<=x+1b<=x+1,同理a<=y+1a<=y+1) 但是在上述假设中我们知道a(x+1)+b(y+1)=aba(x+1)+b(y+1)=ab,a>=0,b>=0a>=0,b>=0 所以假设不成立，即不存在x,y>=0x,y>=0,满足 ax+by=ab−a−bax+by=ab−a−b 对于任意正整数C>=ab−a−b+1C>=ab−a−b+1，即C+a+b>=ab+1C+a+b>=ab+1 设C+a+b=ka+m(k>=b,1<=m<=a−1)C+a+b=ka+m(k>=b,1<=m<=a−1) 注意到(a,b)=1 由裴蜀定理，知存在x0,y0∈Zx0,y0∈Z，使得ax0+by0=1ax0+by0=1 故存在x1,y1∈Z，−(b−1)<=x1<=−1x1,y1∈Z，−(b−1)<=x1<=−1 使得ax1+by1=max1+by1=m (解释一下，这里的意思其实是设−(b−1)<=x1<=−1−(b−1)<=x1<=−1，一定存在整数y1y1使得ax1+by1=max1+by1=m成立。原因就是在整数x1x1的取值中一共有b−1b−1个数，y1=(m−ax1)/by1=(m−ax1)/b，总是可以找到x1x1使得m−ax1m−ax1能被b整除） 显然，y1>=1(ax1<0,m>0,b>0y1>=1(ax1<0,m>0,b>0，因此y1>=1y1>=1) 于是，取x=k+x1−1,y=y1−1x=k+x1−1,y=y1−1 注意到x1,y1x1,y1的取值范围，得x,y>=0x,y>=0 得ax+by=Cax+by=C 所以任意C>=ab−a−b+1C>=ab−a−b+1都存在x,y>=0x,y>=0,ax+by=Cax+by=C 证毕
代码如下：
1 //AC 2 //luoguP3951小凯的疑惑 3 #include<iostream> 4 using namespace std; 5 int main() 6 { 7 long long a,b; 8 cin>>a>>b; 9 cout<<a*b-a-b; 10 return 0; 11 }
暴力法
简单粗暴的枚举，但是枚举量无疑是巨大的。每个枚举量的最大值都是a*b(根据上面推理的公式，且题目中给出a，b互质，说明结果一定会小于a*b)。逐一舍去可以被表示出来的数字（赋予1），最后再倒序从a*b-1开始输出第一个为零的数字
还有地方需优化
1 //60分 2 //luoguP3951小凯的疑惑 3 #include<iostream> 4 using namespace std; 5 bool number[100000000000000]; 6 int main() 7 { 8 long long a,b; 9 cin>>a>>b; 10 for(long long i=0;i*a<a*b;i++) 11 for(unsigned long long j=0;j*b<a*b;j++) 12 { 13 if(i*a+j*b>a*b) break; 14 number[i*a+j*b]=1; 15 } 16 for(long long i=a*b-1;i>0;i--) 17 if(number[i]==0) {cout<<i;break;} 18 return 0; 19 20 }
之后，我下载了#13测试数据：66650775 6074462
对应的答案：404867527282813
你就知道为什么会不能通过了——超时
第三种方法
被启发 by 我的好室友NLH
因为对于每一个可以得到的商品的价格，再加上a或b，小凯也可以买到。那么每一个数字就有两种选择，直到数字超过了a*b。
不过，想法十分巧妙效果一般
还有地方需改进
1 //30分 2 //luoguP3951小凯的疑惑 3 #include<iostream> 4 using namespace std; 5 unsigned long long a,b; 6 bool number[1000000000]; 7 void function(unsigned long long one){ 8 if(one>a*b) return; 9 number[one]=1; 10 //cout<<one<<endl;//倘若你输出每一次的one值，你就可以看到效率是多么的低。。。 11 function(one+a); 12 function(one+b); 13 } 14 int main() 15 { 16 cin>>a>>b; 17 function(0); 18 for(unsigned long long i=a*b-1;i>0;i--) 19 if(number[i]==0) {cout<<i;break;} 20 return 0; 21 }
总结
总而言之，还是第一种方法好，没有任何的循环等等。。。
但它也是最难理解的一种。
做这种题时，要好好想想有没有更简单的方法，其次是数学基本功底要好。
再接再厉！
好的，那就先这么草率的结束了吧！