P5562 [Celeste-B]Center of the Earth 题解

构造

因为题目只要求两位相同，所以可以暴力枚举这两位所有的可能性，方案数为(O(n^2))。

但是，这么做是显然不优的，因为完全没有用到第三位。

观察题目条件：n为偶数。

就想一想能不能奇数偶数分开来做呢？

注意到一共有三位，总共放到奇偶两个抽屉中，必有一个抽屉有两个位，即存在两位同奇偶。

我们就想办法枚举到这两位同奇偶的数对。

一个有序三元组((a,b,c))可以覆盖三个有序的二元组((a,b,?),(?,b,c),(a,?,c))

这样的有序二元组取值为([1,n])时共有(3n^2)

由于我们分奇偶讨论，所以每种有(frac{3}{4}n^2)个，总计(frac{3}{2}n^2)个

如果两两不相同，那么一次性可以排除三个，总共需要排除(frac{n^2}{2})次。

可以很容易构造出两两不同的方案，详情见代码。

此时我们感觉答案已经很优了。

证明

设你使用了猜了(t)个答案

所有答案为((a_i,b_i,c_i))这样的三元组

按照(a_i)划分为(n)个集合(S_i),(S_i)中每个三元组的(a)等于(i)

设(s_i=|S_i|)

显然这些答案要求覆盖所有的(n^3)个三元组

一个答案((a,b,c))可以覆盖所有形如((a,b,?),(?,b,c),(a,?,c))的三元组，不难发现有(3n-2)个

考察每个集合内部重复覆盖的三元组

如：

((a,b,c))和((a,d,e))共同覆盖了((a,b,e),(a,d,c))两个三元组

((a,b,c))和((d,b,e))共同覆盖了((d,b,c),(a,b,e))两个三元组

((a,b,c))和((a,b,d))共同覆盖了((a,b,?))共(n)个三元组（只考虑(nge4)的情况）

所以同一集合内的两个三元组至少重复覆盖了2个三元组

按(a)和按(b)分类算两次并不会使答案变得比实际更小。(只有前两项相同的三元组才会重复减去，而需要减去的(nge2+2)，所以不会重复)

发现：

[sum_{i=1}^{n}{2(_{2}^{s_i})}ge n*(frac{t}{n})^2-t ]

所以总共覆盖的三元组至多有

[(3n-2)t-2*(n*(frac{t}{n})^2-t)ge n^3 ]

这样就可以解出来(tgefrac{n^2}{2})了

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,k;
int main(){
	scanf("%d",&n);
	k=n/2;
	printf("%lld
",1ll*n*n/2);
	for(int i=1;i<=k;i++)
		for(int j=1;j<=k;j++)
			printf("%d %d %d
",2*i-1,2*j-1,2*((j+i)%k+1)-1);
	for(int i=1;i<=k;i++)
		for(int j=1;j<=k;j++)
			printf("%d %d %d
",2*i,2*j,2*((i+j)%k+1));
}