算术基本定理，又称为正整数的唯一分解定理，即：每个大于1的自然数均可写为质数的积，而且这些素因子按大小排列之后，写法仅有一种方式。例如:
证明略（其实是我不懂我会乱说XD），如果需要证明就百度吧，上面有相关证明。
简而言之，唯一分解定理就是说任意一个大于1的自然数都可以写为几个素数的幂的乘积。记住这个就足够了（不困难嘛）。
在简单的了解了唯一分解定理后，思考一个问题，如何求小于等于n的自然数中与n互质的数的数量（好绕口），简单说就是，在[1,n]区间中与n互质的数有多少个（这下好多了），欧拉函数就是这个东西了，表示在[1,n]区间中与n互质的数的数量。既然我们前面讲了唯一分解定理，那么通过直觉可以证明（无视这句）欧拉函数与唯一分解定理有关。我们来考虑一个例子，对于整数n=360，将其分解得到
可知2,3,5都是360的素因子。在[1,360]这个区间中，2,3,5都是360的素因子，必然是360的约数，所以2的倍数，3的倍数，5的倍数都是360的约数，[1,360]中2的倍数有360/2个，3的倍数有360/3个，5的倍数有360/5，这些数都不可能与360互质，所以有=360-360/2-360/3-360/5。看上去是对的，但是很遗憾，360-360/2-360/3-360/5=-12，是一个明显不正确的负数，为什么会这样呢，我们考虑这样的几个数：6,10,15，6在作为2的倍数时已经减过一次了，但是作为3的倍数的时候又被减了一次，多减了一次，10也同样，作为2,5的倍数被减了两次，像这样的数一共有360/(2*3)+360/(2*5)+360/(3*5)个，为了体现公平公正的原则（无视这句），我们要将多减的这一次加回来，所以
=360-360/2-360/3-360/5 + 360/(2*3)+360/(2*5)+360/(3*5) = 108，这下结果是正数了，总应该对了吧，BUT(最讨厌但是了)，来考虑一下30这个数，他在作为2,3,5的倍数的时候被减了3次，又在作为6,10,15的倍数的时候被加了三次，总结起来就是根本没把他算上嘛！为了体现公平公正的原则（够了！），我们要把他和他的倍数计算在内，即：
=360 -360/2-360/3-360/5 + 360/(2*3)+360/(2*5)+360/(3*5) –360/(2*3*5) = 96.终于正确了！
刚刚360只是3个质因子的幂的乘积，但是如果有更多的分解的质因子呢，当然就要反复的如上考虑了（不过会复杂一点），其实刚刚说了这么多，其实都是属于一个叫做容斥原理
的东西，感兴趣的可以自行百度，我在这里就不多赘述了。下面就不加证明的给出方程：
对于正整数的唯一分解式：
有
以上就是高大上的定义，但是如此高端的东西显得太平易近人了，虽然完全不明显，但是这个高大上的玩意儿是可以转化成
虽然中间的过程并不好理解，但是我们通过这一个简洁的式子是可以用感性的方法去理解的，对于任意一个素因子p，我们可以选着选他或者不选他，选的话就相当于选了-1/p作为展开式其中一项的因数，不选的话就相当于用1作为其中一项的因数（即没有影响）。
有了简化的公式，欧拉函数的程序实现就变得非常的简单了，注意我没有先生成n的唯一分解，而是边分解边计算结果，下面是代码
int euler_phi(int n)
{
int m=(int)sqrt(n+0.5);//n的素数范围在[1,sqrt(n)]之间
int ret=n;//初始化返回值
for(int i=2;i<=m;++i)if(!(n%i))//如果i是n的因子(可以保证是素因子)
{
ret=ret/i*(i-1);//计算结果
while(!(n%i))n/=i;//将i作为因子把n“除尽”
}
if(n>1)ret=ret/n*(n-1);//n可能也是质数
return ret;
}
如果要求1~n所有数的欧拉函数值，就需要用到类似于筛素数的思想了，给代码：
const int maxn=100+10;
int phi[maxn];//储存结果
void phi_table(int n)
{
memset(phi,0,sizeof(phi));
phi[1]=1;//首项为1
for(int i=1;i<=n;++i)if(!phi[i])//i必定为素数（类似筛素数法）
for(int j=i;j<=n;j+=i)//不断枚举i的倍数
{
if(!phi[j])phi[j]=j;//如果没有算过就初始化为j
phi[j]=phi[j]/i*(i-1);//进行计算
}
}