codeforces 400E. Inna and Binary Logic 线段树

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给出n个数， 定义a[1][i]为这初始的n个数， 然后a[i][j] = a[i-1][j]&a[i-1][j-1]， 这样就可以得到一个三角形一共n*(n-1)/2个数。

给出一种操作， 将a[1][x]这个位置的数换为y， 然后求换完之后的这n(n-1)/2个数的和。

很有意思的题， 这个题应该按位建线段树， 这样需要建18棵， 因为a[1][i]的最大值为1e5。

然后我们来看具体如何做， 我们来看一组数据：3 6 7， 换为二进制之后是下面这个样子。

0 1 1

1 1 0

1 1 1

我们先来算一算这三个数的值为多少， 3+6+7+2+6+2 = 26。

我们发现第一个数和第二个数&之后剩余的是2， 第二个数和第三个数&之后剩余的是6， 我们来观察二进制， 发现第一个数和第二个数的第二位的2个1是相邻的， 并且这一位换成10进制正好是2， 而第二个数和第三个数的第一位和第二位的两个1是相邻的， 换成10进制之后是6。

由此可以推断出， 如果是一个单独的1， 那么贡献就是1， 两个相邻的1贡献是2*3/2 = 3，n个相邻的1贡献就是n(n+1)/2。

那么我们建立线段树的时候就应该保存一个sum， prefix， 以及suffix， 具体的看代码。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <map>
#include <set>
#include <string>
#include <queue>
#include <stack>
#include <bitset>
using namespace std;
#define pb(x) push_back(x)
#define ll long long
#define mk(x, y) make_pair(x, y)
#define lson l, m, rt<<1
#define mem(a) memset(a, 0, sizeof(a))
#define rson m+1, r, rt<<1|1
#define mem1(a) memset(a, -1, sizeof(a))
#define mem2(a) memset(a, 0x3f, sizeof(a))
#define rep(i, n, a) for(int i = a; i<n; i++)
#define fi first
#define se second
typedef pair<int, int> pll;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-8;
const int mod = 1e9+7;
const int inf = 1061109567;
const int dir[][2] = { {-1, 0}, {1, 0}, {0, -1}, {0, 1} };
const int maxn = 1e5+5;
ll cal(ll val) {
    return 1LL*val*(val+1)/2;
}
struct SegmentTree
{
    ll sum[maxn<<2], pre[maxn<<2], suf[maxn<<2];
    void pushUp(int rt, int m) {
        sum[rt] = sum[rt<<1|1] + sum[rt<<1];
        if(pre[rt<<1|1]&&suf[rt<<1]) {
            sum[rt] += cal(pre[rt<<1|1]+suf[rt<<1])-cal(suf[rt<<1])-cal(pre[rt<<1|1]); 
        }     
        pre[rt] = pre[rt<<1];
        suf[rt] = suf[rt<<1|1];
        if(pre[rt] == m-(m>>1)) {
            pre[rt] += pre[rt<<1|1];
        }
        if(suf[rt] == m>>1) {
            suf[rt] += suf[rt<<1];
        }
    }
    void update(int p, int val, int l, int r, int rt) {
        if(l == r) {
            sum[rt] = pre[rt] = suf[rt] = val;
            return ;
        }
        int m = l+r>>1;
        if(p<=m)
            update(p, val, lson);
        else
            update(p, val, rson);
        pushUp(rt, r-l+1);
    }
}tree[18];
int main()
{
    int cnt, n, m, x, y, a[20];
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1; i<=n; i++) {
        scanf("%d", &x);
        cnt = 0;
        while(x) {
            a[cnt++] = x&1;
            x>>=1;
        }
        for(int j = 0; j<cnt; j++) {
            tree[j].update(i, a[j], 1, n, 1);
        }
    }
    while(m--) {
        scanf("%d%d", &x, &y);
        cnt = 0;
        mem(a);
        while(y) {
            a[cnt++] = y&1;
            y>>=1;
        }
        ll ans = 0, mul = 1;
        for(int i = 0; i<18; i++) {
            tree[i].update(x, a[i], 1, n, 1);
            ans += tree[i].sum[1]*mul;
            mul*=2;
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}