ZR 2020普转提七连测day5

A. 跳石头

首先我们观察一下青蛙是怎么跳的：对于一个断点 ((i,i+1))，如果有 (x) 只青蛙往左跳，那么一定有 (x) 只青蛙往右跳，所以 (a_i) 一定是偶数。

并且我们发现从 (a_i) 到 (a_{i+1})，变化的只可能是 (i+1) 这一个青蛙，也就是有 (|a_i-a_{i+1}| in {0,2,-2})。

我们考虑 (a_i) 到 (a_{i+1}) 的变化：如果是 (0) 说明一定是 (i) 跳到自己，如果多了 (2) 说明 (i) 往后跳，少了 (2) 是往前跳。

所以我们可以得出每个点往哪里跳，然后用类似括号序列的方式配对就行了：遇到往右的加入栈，往左的就随便取出一个。

#include <bits/stdc++.h>

#define fi first
#define se second
#define db double
#define U unsigned
#define P std::pair<int,int>
#define LL long long
#define pb push_back
#define MP std::make_pair
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define CLR(i,a) memset(i,a,sizeof(i))
#define FOR(i,a,b) for(int i = a;i <= b;++i)
#define ROF(i,a,b) for(int i = a;i >= b;--i)
#define DEBUG(x) std::cerr << #x << '=' << x << std::endl

const int MAXN = 2e5 + 5;
int n,a[MAXN];
int ans[MAXN];

int main(){
    scanf("%d",&n);
    FOR(i,1,n-1) scanf("%d",a+i);
    bool flag = 1;
    FOR(i,1,n){
        flag &= !(a[i]&1);
        flag &= (std::abs(a[i]-a[i-1]) == 2 || a[i] == a[i-1]);
    }
    if(!flag){
        puts("No");
        return 0;
    }
    std::vector<int> S;
    FOR(i,1,n){
        if(a[i] == a[i-1]+2){// 左括号
            S.pb(i);
        }
        else if(a[i] == a[i-1]){
            ans[i] = i;
        }
        else{ // 右括号
            if(S.empty()){
                puts("No");
                return 0;
            }
            ans[S.back()] = i;
            ans[i] = S.back();
            S.pop_back();
        }
    }
    if(!S.empty()){
        puts("No");
        return 0;
    }
    puts("Yes");
    FOR(i,1,n) printf("%d%c",ans[i]," 
"[i==n]);
    return 0;
}
/*
1. a[i] 都是偶数 并且正好一半往左一半往右
2.  考虑 a[i] 和 a[i+1]:如果中间不动 a[i]==a[i+1],如果中间往右 a[i+1] = a[i]+2,如果中间往左 a[i+1] = a[i]-2
往右必然要有一个往左 所以遇到往右的可以看成左括号 往左的可以看成右括号 就行了
*/

B. 树

先把颜色相同的缩成一个树，感性理解操作肯定是每次操作同一个联通块，让他的影响不断增大。我们设第一次操作的点是 (x) ，以 (x) 为根建树，发现操作最大深度次就能完成。所以我们要让最大深度尽量小，就是直径的长度除以二。

稍微注意下处理重边即可。

#include <bits/stdc++.h>

#define fi first
#define se second
#define db double
#define U unsigned
#define P std::pair<int,int>
#define LL long long
#define pb push_back
#define MP std::make_pair
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define CLR(i,a) memset(i,a,sizeof(i))
#define FOR(i,a,b) for(int i = a;i <= b;++i)
#define ROF(i,a,b) for(int i = a;i >= b;--i)
#define DEBUG(x) std::cerr << #x << '=' << x << std::endl

const int MAXN = 5e5 + 5;
int n,a[MAXN];
std::vector<int> G[MAXN],T[MAXN];
bool vis[MAXN];
int f[MAXN];

inline int find(int x){
    return x == f[x] ? x : f[x] = find(f[x]);
}

inline void merge(int x,int y){
    x = find(x);y = find(y);
    if(x == y) return;
    f[x] = y;
}

inline void dfs(int v){
    vis[v] = 1;
    for(auto x:G[v]){
        if(vis[x]) continue;
        if(a[x] != a[v]) continue;
        merge(v,x);
        dfs(x);
    }
}

int g[MAXN][2],ans;

inline void dfs2(int v,int fa=0){
    for(auto x:T[v]){
        if(x == fa) continue;
        dfs2(x,v);
        if(g[v][0] < g[x][0]+1){
            g[v][1] = g[v][0];
            g[v][0] = g[x][0]+1;
        }
        else if(g[v][1] < g[x][0]+1){
            g[v][1] = g[x][0]+1;
        }
    }
    ans = std::max(ans,g[v][0]+g[v][1]);
}

std::map<P,int> S;

int main(){
    scanf("%d",&n);FOR(i,1,n) scanf("%d",a+i),f[i] = i;
    FOR(i,2,n){
        int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);G[u].pb(v);G[v].pb(u);
    }
    FOR(i,1,n){
        if(vis[i]) continue;
        dfs(i);
    }
    FOR(v,1,n){
        for(auto x:G[v]){
            if(find(x) != find(v)){
                int a = find(x),b = find(v);
                if(a > b) std::swap(a,b);
                S[MP(a,b)] = 1;
            }
        }
    }
    for(auto x:S){
        T[x.fi.fi].pb(x.fi.se);
        T[x.fi.se].pb(x.fi.fi);
    }
    dfs2(find(1));
    printf("%d
",(ans+1)/2);
    return 0;
}

C. 背包

如果没有背包的限制，那么答案就是按照重量从大到小排序，求价值的 LDS。

我们按照重量从大到小排序，那么位置 (i) 我们能得出最多能选几个物品，设 (f_i) 表示考虑了前 (i) 个的答案，树状数组优化转移后特判一下能选几个物品的数量限制就行了。也就是 (f_i = min(f_i,lim_i))。

#include <bits/stdc++.h>

#define fi first
#define se second
#define db double
#define U unsigned
#define P std::pair<int,int>
#define LL long long
#define pb push_back
#define MP std::make_pair
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define CLR(i,a) memset(i,a,sizeof(i))
#define FOR(i,a,b) for(int i = a;i <= b;++i)
#define ROF(i,a,b) for(int i = a;i >= b;--i)
#define DEBUG(x) std::cerr << #x << '=' << x << std::endl

const int MAXN = 2e5 + 5;

struct BIT{
    #define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
    int tree[MAXN];

    inline void add(int pos,int x){
        while(pos){
            tree[pos] = std::max(tree[pos],x);
            pos -= lowbit(pos);
        }
    }

    inline int query(int pos){
        int res = 0;
        while(pos < MAXN){
            res = std::max(res,tree[pos]);
            pos += lowbit(pos);
        }
        return res;
    }
}bit;

int n;
P a[MAXN];
int lim[MAXN],w[MAXN],m;

inline void Solve(){
    scanf("%d",&n);std::vector<int> S;CLR(bit.tree,0);
    FOR(i,1,n) scanf("%d%d",&a[i].fi,&a[i].se),S.pb(a[i].se);
    std::sort(all(S));S.erase(std::unique(all(S)),S.end());
    FOR(i,1,n) a[i].se = std::lower_bound(all(S),a[i].se)-S.begin()+1;
    std::sort(a+1,a+n+1,[&](const P &x,const P &y){return x.fi > y.fi || (x.fi == y.fi && x.se > y.se);});
    scanf("%d",&m);
    FOR(i,1,m) scanf("%d",w+i);std::sort(w+1,w+m+1);std::reverse(w+1,w+m+1);
    int ans = 0;
    FOR(i,1,n){
        lim[i] = lim[i-1];
        while(lim[i]+1 <= m && w[lim[i]+1] >= a[i].fi) ++lim[i];
        int f = bit.query(a[i].se)+1;f = std::min(f,lim[i]);
        bit.add(a[i].se,f);
        ans = std::max(ans,f);
    }
    printf("%d
",ans);
}

int main(){
//    freopen("C.in","r",stdin);
    int T;scanf("%d",&T);
    while(T--) Solve();
    return 0;
}

D. 蚂蚁

先考虑不需要支持修改怎么做：假设现在有 (k) 只蚂蚁，所在的点分别为 (v_1ldots v_k)，设每个蚂蚁到达根的时间为 (t_i)，答案就是 (max t_i)，我们观察一下有哪些限制：

首先，每个蚂蚁的 (t_i geq dep_{v_i})，因为就算从开始爬也要花这些时间才能过去。

然后，我们要保证不会在某时刻在同一个点，我们可以发现如果两只蚂蚁在某个时候在同一个点上，那么它们在根的时候也会在同一个点上，所以我们只需要保证 (t_i) 互不相同就行了。

所以问题变成了，每个变量有一个下界 (lim_i)，要求分配使得变量互不相同，并且最大值尽量小，这是个经典问题：考虑记 (s_i = sum_{x=1}^k [lim_x geq i])，答案显然是 (max(s_i+i-1))，用线段树维护即可。

#include <bits/stdc++.h>

#define fi first
#define se second
#define db double
#define U unsigned
#define P std::pair<int,int>
#define LL long long
#define pb push_back
#define MP std::make_pair
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define CLR(i,a) memset(i,a,sizeof(i))
#define FOR(i,a,b) for(int i = a;i <= b;++i)
#define ROF(i,a,b) for(int i = a;i >= b;--i)
#define DEBUG(x) std::cerr << #x << '=' << x << std::endl

const int MAXN = 1e5 + 5;

int mx[MAXN<<2],tag[MAXN<<2];
#define lc ((x)<<1)
#define rc ((x)<<1|1)

inline void cover(int x,int d){
    mx[x] += d;tag[x] += d;
}

inline void pushdown(int x){
    if(tag[x]){
        cover(lc,tag[x]);
        cover(rc,tag[x]);
        tag[x] = 0;
    }
}

inline void modify(int x,int l,int r,int L,int R,int d){
    if(l == L && r == R){
        cover(x,d);
        return;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;pushdown(x);
    if(R <= mid) modify(lc,l,mid,L,R,d);
    else if(L > mid) modify(rc,mid+1,r,L,R,d);
    else modify(lc,l,mid,L,mid,d),modify(rc,mid+1,r,mid+1,R,d);
    mx[x] = std::max(mx[lc],mx[rc]);
}

inline void build(int x,int l,int r){
    tag[x] = 0;
    if(l == r){
        mx[x] = l;return;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    build(lc,l,mid);build(rc,mid+1,r);
    mx[x] = std::max(mx[lc],mx[rc]);
}

int n,m;
std::vector<int> G[MAXN];
int dep[MAXN];

inline void dfs(int v,int fa=0){
    dep[v] = dep[fa]+1;
    for(auto x:G[v]) if(x != fa) dfs(x,v);
}

inline int query(int x,int l,int r,int L,int R){
    if(L > R) return 1;
    if(l == L && r == R) return mx[x];
    int mid = (l + r) >> 1;pushdown(x);
    if(R <= mid) return query(lc,l,mid,L,R);
    if(L > mid) return query(rc,mid+1,r,L,R);
    return std::max(query(lc,l,mid,L,mid),query(rc,mid+1,r,mid+1,R));
}

std::multiset<int> S;

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    FOR(i,2,n){
        int f;scanf("%d",&f);
        G[f].pb(i);
    }
    dfs(1);build(1,1,n);
    S.insert(0);
    FOR(i,1,m){
        int opt,x;scanf("%d%d",&opt,&x);
        if(opt == 1){
            if(x != 1){
                S.insert(dep[x]);
                modify(1,1,n,1,dep[x],1);
            }
        }
        else{
            if(x != 1){
                S.erase(S.find(dep[x]));
                modify(1,1,n,1,dep[x],-1);
            }
        }
        int t = *S.rbegin();
        printf("%d
",query(1,1,n,1,t)-1);
    }
    return 0;
}

E. 划分

为啥完全没有思路。。。

我们考虑固定 (1) 为根，定义每个连通块的根为连通块深度最小的点，我们枚举其中一个连通块的根为 (x eq 1)，那么有一个连通块根一定为 (1)，我们设剩下的那个连通块的根为 (y)，分类讨论：

如果 (sz_x = |A|)：

• 如果 (y) 不是 (x) 的祖先，(sz_y = sz_x) 或 (sz_y=n-2sz_x)
• 如果 (y) 是 (x) 的祖先，(sz_y=2sz_x) 或 (sz_y=n-sz_x)

如果 (sz_x = |C|)：

• 如果 (y) 不是 (x) 的祖先，(sz_y=frac{n-sz_x}{2})
• 如果 (y) 是 (x) 的祖先，(sz_y = frac{n-sz_x}{2}+sz_x = frac{n+sz_x}{2})

相当于我们对于一个点，想要询问到根的链上是否有点的 (sz) 是某个值，这个可以 dfs 的时候处理一个数组搞出来；还需要询问某个点子树外并且不是它的祖先的所有点中是否有点 (sz) 是某个值，预先处理所有的点的 (sz) 出现情况，补集转化后变成了求子树内某个值的出现次数，这个可以用类似差分计算增量的方法实现，也就是在进入子树前记录一下要查询的值，然后进入这个子树，遍历完所有的点并且加到桶里后再求一下值，做个差就能得到子树的值。详情可以看代码

#include <bits/stdc++.h>

#define fi first
#define se second
#define db double
#define U unsigned
#define P std::pair<int,int>
#define LL long long
#define pb push_back
#define MP std::make_pair
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define CLR(i,a) memset(i,a,sizeof(i))
#define FOR(i,a,b) for(int i = a;i <= b;++i)
#define ROF(i,a,b) for(int i = a;i >= b;--i)
#define DEBUG(x) std::cerr << #x << '=' << x << std::endl

const int MAXN = 1e6 + 5;

std::vector<int> G[MAXN];
int n;

int sz[MAXN];
int c1[MAXN],c2[MAXN],c3[MAXN];
// c1: 整棵树
// c2: 查询子树用
// c3: 祖先

inline void dfs1(int v,int fa=0){
    sz[v] = 1;
    for(auto x:G[v]){
        if(x == fa) continue;
        dfs1(x,v);
        sz[v] += sz[x];
    }
    ++c1[sz[v]];
}

int ans = 0;

inline void dfs2(int v,int fa=0){
    if(2*sz[v] <= n && c3[2*sz[v]] && 2*sz[v] < n) ans = std::max(ans,sz[v]);
    if(c3[n-sz[v]] && 2*sz[v] < n) ans = std::max(ans,sz[v]);
    if(!((n+sz[v])&1) && c3[(n+sz[v])>>1]) ans = std::max(ans,(n-sz[v])>>1);
    int p1 = c2[sz[v]],p2 = n-2*sz[v] > 0 ? c2[n-2*sz[v]] : -1e9,p3 = (n-sz[v])&1 ? -1e9 : c2[(n-sz[v])>>1];
    ++c3[sz[v]];++c2[sz[v]];
    for(auto x:G[v]){
        if(x == fa) continue;
        dfs2(x,v);
    }
    p1 = c1[sz[v]]-(c2[sz[v]]-p1);
    if(p2 != -1e9) p2 = c1[n-2*sz[v]]-(c2[n-2*sz[v]]-p2);
    if(p3 != -1e9) p3 = c1[(n-sz[v])>>1]-(c2[(n-sz[v])>>1]-p3);
    if(p1 > 0 && 2*sz[v] < n) ans = std::max(ans,sz[v]);
    if(p2 > 0 && 2*sz[v] < n) ans = std::max(ans,sz[v]);
    if(p3 > 0) ans = std::max(ans,(n-sz[v])>>1);
    --c3[sz[v]];
}

int main(){
    scanf("%d",&n);
    FOR(i,2,n){
        int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);
        G[u].pb(v);G[v].pb(u);
    }
    dfs1(1);dfs2(1);
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}