莫比乌斯反演

(连我都不知道的)预备知识：

$sum_{d|n}varphi(d)=n $

$sum_{i=1}^{n}[gcd(i,n)=1]cdot i=frac{ncdotvarphi(n)+[n=1]}{2}$

$sum_{d|n}frac{mu(d)}{d}=frac{varphi(n)}{n}$

$sum_{d|n}^{mu(d)}=[n=1]$

 最后一个性质的证明(我也就记得这个了)

设$n$有$k$个质因子($k eq 0$ 即 $n eq 1$)

$quad sum_{d|n}mu(d)$

$=sum_{i=1}^{k}dbinom{k}{i}cdot (-1)^i$

$=(1-1)^k$

$=0$

当且仅当$n=1$时上式为$1$

狄利克雷卷积：

对于数论函数$f$和$g$,它们的狄利克雷卷积为$(f*g)(n)=sum_{d|n}f(d)g(frac{n}{d})$

狄利克雷卷积满足交换律,结合律,加法时满足分配律。

$e(n)=[n=1]=(mu*I)(n)$

$id(n)=n=(varphi*I)(n)$

$d(n)=sum[d|n]=(I*I)(n)$

$sigma(n)=sum_{d|n}d=(id*I)(n)$

$varphi(n)=(mu*id)(n)$

$f(n)=(e*f)(n)$

莫比乌斯反演定理：

$f(n)=sum_{d|n}g(d) Rightarrow g(n)=sum_{d|n}mu(d)f(frac{n}{d})$

证明：

方法一：

$quad sum_{d|n}mu(d)f(frac{n}{d})$

$=sum_{d|n}mu(d)sum_{d'|frac{n}{d}}g(d')$

$=sum_{d'|n}g(d')sum_{d|frac{n}{d'}}mu(d)$

$=g(n)$

方法二：

$g(n)=(f*mu)(n)=(g*I*mu)(n)=(g*e)(n)=g(n)$

证毕。