【NOIP】【洛谷P1029】最大公约数和最小公倍数问题

问题描述

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3 60

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4

提示

数据范围

题解

我们知道p*q=gcd(p,q)*lcm(p,q)

题目已知gcd和lcm，即x₀和y₀，由此可得到p*q的值。那么只要枚举p，就能得到q=x₀*y₀/p

由于q是整数，所以p一定是x₀*y₀的因数

从2开始枚举p，若p是x0*y0的因数且gcd(p,q)=x₀，则p为满足条件的一种方案

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然而为什么还要满足gcd(p,q)=x0,或者为什么只需满足gcd(p,q)=x0而不需要lcm(p,q)=y0?

因为若能找到一个p是x0*y0的因数，必能得到一个q，使得p*q==x0*y0,但事实上乘积相同的两个数有很多组（例如2*9=3*6=18），有可能我们找到的这组p，q并不是满足gcd(p,q)=x0,lcm(p,q)=y0的那组，所以我们求出来的p，q还需要满足gcd(p,q)=x0。那么为什么不需要再满足lcm(p,q)=y0呢？因为我们已知gcd(p,q)*lcm(p.q)=p*q=x0*y0,所以只要满足gcd(p,q)=x0,就可以知道lcm(p,q)=y0一定成立

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由样例可知，每一组数总能找到与之相对应的顺序相反的另一组数（3,60和60,3两个数字完全一样只是顺序不同）事实上，一个数的因数是关于它的平方根对称的，即i和n/i一定一个小于sqrt(n)一个大于sqrt(n),那么只要从2枚举到平方根，找到所有满足条件的数，最后结果乘2即为答案

#include <cstdio>
#include <cmath>
int x,y;
int gcd(int a,int b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&x,&y);
    if (x==y)
    {
        printf("1");
        return 0;
    }
    long long n=1ll*x*y,m=sqrt(n);
    int i,s=0;
    for (i=2;i<m;i++)
      if (!(n%i) && gcd(i,n/i)==x)
        s++;
    printf("%d",s*2);
    return 0;
}