错排

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递推公式

f[n]=(n-1)*(f[n-1]+f[n-2])

证明（这也配叫证明？？？

第n个元素可以在前n-1个元素都是错排的情况下与其中一个元素交换位置（n不在就有的错排）

有(n-1)*f[n-1]种方案

第n个元素还可以在前n-2个元素错排，有一个元素在自己位置上时，两个元素换一换（n来了产生的新错排）

有（n-1)*f[n-2]种方案

为什么不考虑两个元素在自己的位置上然后三个元素换一换呢？

你会发现不管怎么换一定是有一个元素和n换了位置，其余元素互相换了位置，，，被前两种情况包含了啦

当然也有别的理解

通项公式

f[n]=n!-n!/1!+n!/2!-n!/3!+…+(-1) ⁿ n!/n!

要求错排先求出不错排（？），再用全部的减去不错排

全部的很好求啊，n!嘛

不错排……

分为1个数在自己的位置上，2个数在自己的位置上，3个数在自己的位置上……,n个数都在自己的位置上（其余随便排）等情况？

所以它们分别是C¹_nA^n-1_n-1,C²_nA^n-2_n-2,C³_nA^n-3_n-3……Cⁿ_nA^n-n_n-n？

所以直接加起来就行嘛？

并不……

它们之间有包含关系，，，

这就用到容斥原理（奇加偶减）啦~

不错排=1个数的-2个数的+3个数的……

带入公式化简一下就好了（不想写了www）

当然不会容斥原理也没有关系

那个式子得出来的实际是>=1个数在自己的位置上，>=2个数在自己的位置上……

直观地表示为

1+2+3+……+n

2+3+……+n

3+……+n

可以发现上下两个式子作差再加起来就好了~