ARC 114
3.13开的一场vp。
拉的不行，只做出了前 2 道。
A.Not coprime
- 题意: 找最小的一个数和数组 \(X\) 中的每个数都不互质。
做法：由于 \(X_i\) 很小，只有 \(15\) 个质因数，直接枚举所有情况即可， 时间复杂度 \(O(n2^{15})\)。
赛时wa了两发。
第一发以为直接枚举即可，但是发现了15个质因数的和可能很大。
第二发最小值初始值设小了。
B. Special Subsets
- 题意: 给出数组 \(f(n\leq 2 \times 10^5，1\leq f_i \leq n)\) , 选出一些数，满足以下条件：
1. 如果 \(i\) 被选，那么 \(f_i\) 就得被选。
2. 如果 \(a \neq b\), 且 \(a, b\) 被选，那么 \(f_a \neq f_b\)。
求方案数。 - 做法：第一个条件实际上就是一个依赖关系，会选出一个环可能带一条链，第二个条件表明一个每个点的入度为 1，这样的东西只能是环了。
做法就很显然了，拓扑排序找出所有的环，记个数为 \(c\), 答案即是 \(2^c - 1\)。
赛时wa了一发，原因是数组没开大。
C.Sequence Scores
- 题意: 只给出序列长度 \(n (\leq 5000)\), 每个数的范围 \(1\sim m(\leq 5000)\)。
初始有全零的序列，每次操作可以任选一段区间 chkmax 一个任选的数，
记 \(f(S)\) 表示，变成这个序列 \(S\) 的最小操作次数，求 \(m^n\) 种序列的 \(f(S)\) 的和。 - 做法： 考虑新加入一个数 \(S_i\) 造成的 \(f(S)\) 的变化。
1. 如果前面有数 \(S_j = S_i\), 并且 \(j + 1 \sim i - 1\) 这段的 \(S\) 都 \(\geq S_i\), 那么可以在 \(j\) 操作的时候顺带把这位chkmax，这样就没有变化了， 否则变化 1。
2. 如果没有出现过，那么就会变化 1.
现在只需要考虑如何计算总变化，求补集即可。那么枚举当前的数 \(x\)，在枚举相同出现的位置：
$$\Delta_{x} = m^{i - 1} - \sum_{j = 0}^{i - 1}(m - x)^{i - j - 1} m^{j - 2}$$
求答案时,
$$\text{ans}_i = \sum _{x=1}^m \text{ans} _{i - 1} + \Delta _{x}$$
赛时一直想怎么dp，就做不出来了。
D. Moving Pieces on Line
- 题意: 给出一些点 \(a (|a_i| \leq 10^9, n\leq 5000， n \equiv 0 \pmod 2)\), 和一些区间 \(b\)。
初始时，数轴上的边都是红色，你可以对点 \(a\) 左右移，边被经过一次，代价为 1， 就会将颜色翻转，红变蓝或蓝变红。
求最小代价，使得每个区间都是蓝色。 - 做法：观察到，点\(a\) 只往一个方向移动，回头肯定不优。
区间问题不好做，考虑差分变成单点问题， 这就发现颜色翻转和异或有关，这样就会变成异或差分。
问题转化为，刚开始对 \(n\) 个点和区间两端异或 \(1\), 有 \(n\) 个剩余的 \(1\) 可以随意异或，代价是和起点的距离，要求最后是全0。
考虑无解的情况， 当 \(n\) 个点比初始 \(1\) 的个数少时，那就一定不能使得最后全为 0。
剩下就是匹配问题，当点数相同时，显然贪心距离最小的优先匹配。
但是 \(n\) 个点比初始 \(1\) 的个数多时，\(n\) 个点内部还要自己匹配，相邻两点匹配也是最优的。
于是设 \(f_{i, j}\) 表示可以用 \(i\) 个 1匹配，剩下 \(j\) 个要消去。
转移可以 从 \(f_{i - 1, j - 1}\) 和 \(f_{i - 2, j}\) 来。
E. Paper Cutting 2
- 题意：给出一个 \(W \times H (W, K \leq 10^5)\) 的矩阵，有 \(H - 1\) 条可以切开的竖线 和 \(W - 1\) 条可以切开的横线，
如果切到给定的一个子矩阵 \((w1, h1), (w2, h2)\)就停止，否则将选择有给定子矩阵的那一块，求期望切的次数。 - 做法：由于期望有线性性，考虑拆开每条线的对总期望的贡献。
由于四个方向的线相互独立，可以拆开。
以子矩阵右边的竖线为例，它能贡献一次的情况是
1. 子矩阵没被切到，有 \(k = w2 - w1 + h2 - h1\) 条。
2. 竖线到子矩阵的竖线条数，有 \(c\) 条。
能贡献一次的概率当且仅当 在 \(k + c\) 条线中第一次被切到，于是期望次数就是 \(\frac{1}{k + c}\)。
对每一条线的期望求和就是答案 。
F. Permutation Division
- 题意：给出 \(n(\leq 2 \times 10^5)\) 个数的排列 \(P\), 要把排列分成 \(k\) 个连续段，要使这 \(k\) 个段重排后的 \(Q\) 的最大字典序最小，并求出这个字典序 \(Q\)。
- 做法：注意到，\(Q\) 的字典序总是大于等于 \(P\)。
又注意到，开头的 \(P_1\) 一定是某一段的开头。
显然使得段重排的字典序最大，就要按段开头的数字的字典序排序。
就考虑 \(P_1\) 和 \(k\) 的关系。
1. 如果 \(P_1 \leq k\), 那么每段开头一定是 \(1 \sim k\), 重排就是最小的字典序了。
2. 如果 \(P_1 \geq k\), 这时是挑 \(1 \sim k - 1\)为开头吗？不一定是最小。
求字典序最小，就来点强的约束条件，求出 \(Q\) 与 \(P\) 的最长公共前缀。
用二分就可以判定了, 记长度为 \(l\)。
为了使前前缀的不变，那么就一定要选出一个包含 \(P_1\) 的 \(1\sim l\) 的下降子序列，子序列长度就是拆分的段数。
又要剩下的数分成段不排到前面，就要满足拆分的段的开头 \(< P_l\)，为了存在合法的情况，就要使得子序列的长度尽可能长，就越容易找出合法的序列。
记 \(1\sim l\)的最长下降子序列的长度是 \(a\), 那么只要选剩下 \(1\sim k - a\) 小的开头重排就是最小的 \(Q\)。