【算法03】n个骰子的总和

题目：把n个骰子仍在地上，所有骰子的点数和为s。输入n，打印s所有可能取值的概率。

分析1：容易知道，有n个骰子的话，s的最小取值为n（全为1），最大取值为6n（全为6）。

如果只有1个骰子，那么很简单，s取1，2，3，4，5，6的情况数均为1，概率为1/6；设想有n个骰子，出现和为s，我们可以这样考虑，如果第一个骰子有6中情况，取1，2，3，4，5，6；那么剩下的n-1个骰子的和则分别取s-1，s-2, s-3,s-4,s-5, s-6，我们将所有这些情况相加，就可以得出总的情况数。看出了吗？亲，这是什么问题？对了，还是递归问题，根据以上分析我们不难写出如下的递归公式：

对公式的说明：（1）f(s,n)表示，有n个骰子，出现和为s的情况总数；（2）对于公式第二行的解释；如果有一个骰子，那么点数为8或者0的情况数，我们记为0，这样是为了在计算递归时更为方便所作的处理；例如有公式可知f(8,2)=f(7,1)+f(6,1)+f(5,1)+f(4,1)+f(3,1)+f(2,1)，如果我们规定了f(7,1)=0那么计算会方便很多。

有了上面的分析，我们可以写出如下的C++代码：

#include<iostream>
#include<string>
#include<cmath>
using namespace std;


int diceMaxValue = 6;
//计算给定diceNumber个骰子，出现和为diceTotalSum的所有可能情况的总数
int fun(int diceTotalSum, int diceNumber)
{
    //骰子数小于1，错误；
    if(diceNumber < 1)
    {
        cout<<"diceNumber must >= 1"<<endl;
        return 0;
    }

    //骰子数==1；如果和s在[1,6]之间，情况数均为1；
　　//否则为零；例如有一个骰子，出现点数0或者8的情况均不可能，返回0。
    if(diceNumber == 1)
    {
        if((diceTotalSum >= diceNumber && diceTotalSum <= diceMaxValue*diceNumber))
            return 1;
        else 
            return 0;
    }

    //n>1，递归；
    if(diceNumber > 1)
    {
        int sum=0;
        for(int i = 1; i <= diceMaxValue;++i){
            sum += fun(diceTotalSum-i,diceNumber-1);
        }
        return sum;
    }
}

//给定number个骰子，打印出现各种情况的概率
void printSumProbabilityOfDice(int number)
{
    if(number < 1)
    {
        return;
    }

    int maxSum = number * diceMaxValue;
    float *pProbability = new float[maxSum - number + 1];
    
    //数组pProbability存放出现和s时的情况数
    for(int s = number;s <= maxSum;++s)
    {
        pProbability[s-number] = fun(s,number);
    }
    
    //计算总共出现所有的情况数
    int total = pow(diceMaxValue,number);

    //计算概率，打印概率
    for(int j = 0;j < maxSum - number + 1;++j)
    {
        pProbability[j] /= total;
        cout<<j+number<<"\t"<<pProbability[j]<<endl;
    }
    delete[] pProbability;
}



int main()
{
    cout<<"s"<<"\t"<<"probablility"<<endl;
    printSumProbabilityOfDice(3);
    return 0;
}

我们计算3个骰子的情况，运行情况如下：

在开始的定义中，我定义了一个表示单个骰子最大值的变量，并赋值为6，是借鉴了何海涛博主所说的保证代码的可重用性。

分析2：和算法2中求解斐波那契数列的方法类似，递归的效率太差，我们可以正向来求解，假设我们有一个数组表示k-1个骰子中各点数的情况，令第s个分量表示和为s时情况总数，那么当有k个骰子是，其和为s时的情况总数，就是表示k-1骰子的数组中的s-1,s-2,s-3,s-4,s-5,s-6的和（分别令引入的第k个骰子的值分别取1，2，3，4，5，6即可，其实和分析1的思路差不太多）。根据这个思想，我们可以用两个数组交替表示数组k-1和数组k，于是我们有如下的代码：

#include<iostream>
#include<string>
#include<cmath>
using namespace std;

int diceMaxValue = 6;
void PrintProbabilityOfDice(int number)
{
    double* pProbability[2];
    pProbability[0] = new double[number * diceMaxValue + 1];
    pProbability[1] = new double[number * diceMaxValue + 1];
    
    //初始化数组
    for(int i = 0;i < number * diceMaxValue + 1;++i)
    {
        pProbability[0][i]=0;
        pProbability[1][i]=0;
    }

    int flag = 0;
    //将第一个数组下标为1-6的赋值为1
    for(int a = 1;a <= diceMaxValue;++a)
    {
        pProbability[flag][a] = 1;
    }

    //骰子数k从2到n循环；对于每一k，s取值为[k,6k]，对于每一个s计算前一个数组
    //的s-1,s-2,s-3,s-4,s-5,s-6;因为前一个数组的最小值为k-1,因为因而有s-j>=k-1；
    for(int k = 2;k <= number;++k)
    {
        for(int s = k; s <= diceMaxValue * k;++s)
        {
            pProbability[1-flag][s] = 0;
            for(int j = 1;j <= diceMaxValue && j <= s - k + 1;++j)
            {
                pProbability[1-flag][s] += pProbability[flag][s-j];
            }
        }
        flag = 1-flag;
    }

    //除以总数，计算并输出概率；
    double total = pow((double)diceMaxValue,number);
    for(int ss = number;ss <= number * diceMaxValue;++ss)
    {
        pProbability[flag][ss] /= total;
        cout<<ss<<"\t"<<pProbability[flag][ss]<<endl;
    }
    
    
    delete[] pProbability[0];
    delete[] pProbability[1];
}

int main()
{
    cout<<"s"<<"\t"<<"probability"<<endl;
    PrintProbabilityOfDice(4);
    return 0;
}

运行结果如下：

最后分析：我们看到和【算法02】中提到的一样，虽然该算法的时间复杂度提高了很多，但是动态创建了两个数组，而且每一个的数组长度都没分析1中的长度多了一个n，因而还是以空间换时间的思想。好了，这个算法就到这，祝各位愉快！

参考文献：

【1】何海涛博客：http://zhedahht.blog.163.com/blog/static/254111742009101524946359/

【2】Wikipedia:http://en.wikipedia.org/wiki/Dice#Probability

【3】http://www.helium.com/items/1538174-how-to-calculate-probability-using-multiple-dice

注：

1）本博客所有的代码环境编译均为win7+VC6。所有代码均经过博主上机调试。

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