P1005 矩阵取数游戏

题目描述

帅帅经常跟同学玩一个矩阵取数游戏：对于一个给定的n×mn imes mn×m的矩阵，矩阵中的每个元素ai,ja_{i,j}ai,j​均为非负整数。游戏规则如下：

1. 每次取数时须从每行各取走一个元素，共nnn个。经过mmm次后取完矩阵内所有元素；
2. 每次取走的各个元素只能是该元素所在行的行首或行尾；
3. 每次取数都有一个得分值，为每行取数的得分之和，每行取数的得分 = 被取走的元素值×2i imes 2^i×2i，其中iii表示第iii次取数（从111开始编号）；
4. 游戏结束总得分为mmm次取数得分之和。

帅帅想请你帮忙写一个程序，对于任意矩阵，可以求出取数后的最大得分。

输入输出格式

输入格式：

输入文件包括n+1n+1n+1行：

第111行为两个用空格隔开的整数nnn和mmm。

第2∽n+12acksim n+12∽n+1行为n×mn imes mn×m矩阵，其中每行有mmm个用单个空格隔开的非负整数。

输出格式：

输出文件仅包含111行，为一个整数，即输入矩阵取数后的最大得分。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

2 3
1 2 3
3 4 2

输出样例#1： 复制

82

说明

NOIP 2007 提高第三题

数据范围：

60%的数据满足：1≤n,m≤301le n, m le 301≤n,m≤30，答案不超过101610^{16}1016
100%的数据满足：1≤n,m≤801le n, m le 801≤n,m≤80，0≤ai,j≤10000 le a_{i,j} le 10000≤ai,j​≤1000

高精加dp

可以一行一行地dp

dp[i][j]表示i到j的最优值

转移时从dp[i+1][j]或dp[i][j-1]转移过来

注意乘2

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 85;

const int base = 1e4;

const int power = 4;

int n,m,mp[maxn];

struct big{
    int a[100];
    big() {memset(a,0,sizeof(a));}
    big& operator = (int sum) {
        memset(a,0,sizeof(a));//要清零
        int len=0;
        while(sum) {
            a[++len]=sum%base;
            sum/=base;
        }
        a[0]=len;
        return *this;
    }
    void print() {
        printf("%d",a[a[0]]);
        for(int i=a[0]-1;i>=1;i--) {
            printf("%0*d",power,a[i]);
        }
        printf("
");
    }
}jc[maxn],dp[maxn][maxn],ans;

big operator *(const int sum,const big& q) {
    big c;
    c.a[0]=max(q.a[0],1);
    for(int i=1;i<=c.a[0];i++) {
        c.a[i]+=q.a[i]*sum;
        c.a[i+1]+=c.a[i]/base;
        c.a[i]%=base;
    }
    while(c.a[c.a[0]+1]) c.a[0]++;
    return c;
}

big operator *(const big& p,const big& q) {
    big c;
    c.a[0]=p.a[0]+q.a[0]-1;
    for(int i=1;i<=p.a[0];i++) 
        for(int j=1;j<=q.a[0];j++) {
            c.a[i+j-1]+=p.a[i]*q.a[i];
            c.a[i+j]+=c.a[i+j-1]/base;
            c.a[i+j-1]%=base;
        }
    while(c.a[c.a[0]+1]) c.a[0]++;
    return c;
}

void getjc() {
    jc[1]=2;
    for(int i=2;i<=maxn-5;i++) jc[i]=2*jc[i-1];
}

big max(const big& p,const big& q) {
    if(p.a[0]>q.a[0]) return p;
    else if(p.a[0]<q.a[0]) return q;
    for(int i=p.a[0];i>0;i--) {
        if(p.a[i]>q.a[i]) return p;
        else if(p.a[i]<q.a[i]) return q;
    }
    return p;
}

big operator +(const big& p,const big& q) {
    big c;
    c.a[0]=max(p.a[0],q.a[0]);
    for(int i=1;i<=c.a[0];i++) {
        c.a[i]+=p.a[i]+q.a[i];
        c.a[i+1]+=c.a[i]/base;
        c.a[i]%=base;
    }
    while(c.a[c.a[0]+1]) c.a[0]++;
    return c;
}

int main() {
    scanf("%d%d",&n,&m);
    //getjc();
    //for(int i=1;i<=80;i++) jc[i].print();
    while(n--) {
        for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d",mp+i),dp[i][i]=mp[i]*2;
        for(int l=1;l<m;l++) 
            for(int i=1;i<m;i++) {
                int j=i+l;
                if(j>m) break;
                dp[i][j]=max(2*dp[i+1][j]+dp[i][i],2*dp[i][j-1]+dp[j][j]);
            }
        ans=ans+dp[1][m];
    }
    ans.print();
    return 0;
}