【算法】并查集+平衡树+数学+扫描线
【题解】
经典曼哈顿距离转切比雪夫距离。
曼哈顿距离:S=|x1-x2|+|y1-y2|<=c
即:max(x1-x2+y1-y2,x1-x2-y1+y2,-x1+x2+y1-y2,-x1+x2-y1+y2)
令X1=x1+y1,Y1=x1-y1,则转化为
切比雪夫距离:S=max(|X1-X2|,|Y1-Y2|)<=c。
为什么要转化为切比雪夫距离?因为这种形式很容易操作。
想象两者的几何意义,哈夫曼距离<=c是竖着的正方形,而切比雪夫距离<=c是以一个点为中心的正方形(边平行于坐标轴)。
则问题转化为询问每个正方形,其内部包含的点,经典扫描线。
不过对于这题来讲,还需要一些小技巧来实现传递性。
首先一维排序,另一维用平衡树维护,也就是将排序后的点依次在平衡树上找到前驱和后继,然后再加入平衡树。
这样做就是对于每个点(x,y),在<x的点中找到<y的第一个点和>y的第一个点连边并加入并查集(相等看x)。
从而,每个点只向前面连边,而y只向前面的相邻的点连边,最大限度避免重复统计。
复杂度O(n log n)。
#include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> #include<cctype> #include<set> using namespace std; const int maxn=100010; struct cyc{ int y,d; bool operator < (const cyc &a)const{ return y<a.y||(y==a.y&&d<a.d); } }; struct node{int x,y;}a[maxn]; set<cyc>s; set<cyc>::iterator it; int fa[maxn],n,c,b[maxn]; int read(){ char c;int s=0,t=1; while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')t=-1; do{s=s*10+c-'0';}while(isdigit(c=getchar())); return s*t; } int find(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);} bool cmp(node a,node b){return a.x<b.x;} int main(){ n=read();c=read(); for(int i=1;i<=n;i++){ a[i].x=read();a[i].y=read(); a[i]=(node){a[i].x+a[i].y,a[i].x-a[i].y}; } sort(a+1,a+n+1,cmp); int l=1; s.insert((cyc){a[1].y,1}); for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i; for(int i=2;i<=n;i++){//一边往前,一边两端 while(a[i].x-a[l].x>c)s.erase((cyc){a[l].y,l}),l++; it=s.lower_bound((cyc){a[i].y,i}); if(it!=s.end()&&it->y-a[i].y<=c&&find(i)!=find(it->d))fa[fa[i]]=fa[it->d]; if(it!=s.begin()&&a[i].y-(--it)->y<=c&&find(i)!=find(it->d))fa[fa[i]]=fa[it->d]; s.insert((cyc){a[i].y,i}); } int mx=0,num=0; for(int i=1;i<=n;i++)b[find(i)]++; for(int i=1;i<=n;i++)if(b[i]){ num++; if(b[i]>mx)mx=b[i]; } printf("%d %d",num,mx); return 0; }