$ color{#0066ff}{ 题目描述 }$
LJJ 学完了二项式定理，发现这太简单了，于是他将二项式定理等号右边的式子修改了一下，代入了一定的值，并算出了答案。
但人口算毕竟会失误，他请来了你，让你求出这个答案来验证一下。
一共有 (T) 组数据，每组数据如下：
输入以下变量的值：(n, s , a_0 , a_1 , a_2 , a_3)，求以下式子的值：
(egin{aligned}Large left[ sum_{i=0}^n left( {nchoose i} cdot s^{i} cdot a_{imod 4} ight) ight] mod 998244353end{aligned})
其中 (nchoose i) 表示 (frac{n!}{i!(n-i)!})。
(color{#0066ff}{输入格式})
第一行一个整数 (T)，之后 (T) 行，一行六个整数 (n, s, a_0, a_1, a_2, a_3)。
(color{#0066ff}{输出格式})
一共 (T) 行，每行一个整数表示答案。
(color{#0066ff}{输入样例})
6
1 2 3 4 5 6
2 3 4 5 6 1
3 4 5 6 1 2
4 5 6 1 2 3
5 6 1 2 3 4
6 1 2 3 4 5
(color{#0066ff}{输出样例})
11
88
253
5576
31813
232
(color{#0066ff}{数据范围与提示})
对于 (50\%) 的数据，(T imes n leq 10^5)；
对于 (100\%) 的数据，(1 leq T leq 10^5, 1 leq n leq 10 ^ {18}, 1 leq s, a_0, a_1, a_2, a_3 leq 10^{8})
(color{#0066ff}{题解})
一个有关n次单位根的公式
[[n|k]=frac 1 n sum_{i=0}^{n-1}omega_n^{ki}
]
就不证明了不会
因此，有
[sum_{i=0}^na_i[N|i]=frac{sum_{i=0}^{n}a_isum_{j=0}^{N-1}omega_N^{ij}}{N}=frac{sum_{i=0}^{N-1}f(omega_N^i)}{N}
]
其中(f)是数列a的生成函数
对于本题，我们考虑把4种情况分开处理，即
[sum_{i=0}^3a_isum_{j=0}^n[jmod4 = i]C_n^i*s^i
]
构造生成函数
[sum_{i=0}^3a_isum_{j=0}^nC_n^i*s^i * x^i*1^{n-i}
]
[(sx+1)^n
]
但是，对于(iin[1,3])怎么处理呢？
考虑平移，把多项式整体乘上一个自变量，便是向右平移了一次
因此，只需变为(frac {f(omega_N^j)}{omega_N^{ijmod 4}})即可
#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
LL in() {
char ch; LL x = 0, f = 1;
while(!isdigit(ch = getchar()))(ch == '-') && (f = -f);
for(x = ch ^ 48; isdigit(ch = getchar()); x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48));
return x * f;
}
const int mod = 998244353;
LL w[4], a[4], n, s, c[4];
LL ksm(LL x, LL y) {
LL re = 1LL;
while(y) {
if(y & 1) re = re * x % mod;
x = x * x % mod;
y >>= 1;
}
return re;
}
int main() {
w[0] = 1;
LL g = ksm(3, (mod - 1) / 4);
for(int i = 1; i <= 3; i++) w[i] = w[i - 1] * g % mod;
for(int T = in(); T --> 0;) {
n = in(), s = in(), a[0] = in(), a[1] = in(), a[2] = in(), a[3] = in();
LL ans = 0;
for(int i = 0; i < 4; i++) {
c[i] = 0;
for(int j = 0; j < 4; j++) (c[i] += ksm((s * w[j] + 1) % mod, n) * ksm(w[i * j % 4], mod - 2) % mod) %= mod;
(c[i] *= ksm(4, mod - 2)) %= mod;
(ans += a[i] * c[i] % mod) %= mod;
}
printf("%lld
", ans);
}
return 0;
}