第一讲.向量及其运算

引言

线性代数的中心问题是求解线性方程组。

例：给定一个线性方程组

[egin{cases} x_1 + 2x_2 &= 4 \ 2x_1 - 3x_2 &= -2 end{cases} ]

它能表示为：

[x_1 egin{pmatrix} 1 \ 2 end{pmatrix} + x_2 egin{pmatrix} 2 \ -3 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 4 \ -2 end{pmatrix} ]

此方程组可解(Leftrightarrow)向量((4,-2)^T)可表示为((1, 2)^T)和((2, -3)^T)的线性组合。

线性代数是建立在向量的加法和数乘这两种所谓的“线性运算”上的。

向量空间的定义

在由称为“向量”的元素构成的非空集合(V)中，若定义了加法和数乘运算，且对于(alpha, eta, gamma in K^n)，(k,l in K)，有：
（1）(alpha + eta = eta + alpha)
（2）((alpha + eta) + gamma = alpha + (eta + gamma))
（3）(0 + alpha = alpha + 0 = alpha)，(0)是(K^n)的零元
（4）(-alpha := (-alpha_1, -alpha_2,dots ,-alpha_n), alpha + (-alpha) = (-alpha) + alpha = 0)，(-alpha)是(alpha)的负元
（5）(1 cdot alpha = alpha)
（6）((kl)alpha = k(lalpha))
（7）((k + l)alpha = kalpha + lalpha)
（8）(k(alpha + eta) = kalpha + keta)

则称(V)为定义在数域(mathbb{F})上的向量空间

向量的线性组合

设(v_1, dots, v_m)为(m)个(n)维向量，(c_1, dots, c_m in mathbb{R})，则(c_1v_1 + dots + c_mv_m)为向量(v_1, dots, v_m)的一个线性组合。

向量的夹角

两非零向量(v, w)的夹角( heta)满足(cos heta = frac{v cdot w}{lVert v Vert lVert w Vert})

证明：一般地，向量(v, w, v - w)构成三角形的三边。由余弦定理得：(lVert v - w Vert^2 = lVert v Vert^2 + lVert w Vert^2 - 2lVert v VertlVert w Vert cos heta)。

化简得：(frac{lVert v Vert^2 + lVert w Vert^2 - lVert v - w Vert^2}{2lVert v VertlVert w Vert} = frac{vcdot w}{lVert v VertlVert w Vert})

两个不等式

• 柯西不等式：(|v cdot w| leq lVert v Vert lVert w Vert)，等号成立当且仅当一个向量是另一个向量的倍数。
• 三角不等式：(lVert v + w Vert leq lVert v Vert + lVert w Vert)，等号成立当且仅当(v, w)是另一向量的非负倍数。

证明：

[egin{aligned} lVert v + w Vert^2 &= (v + w) cdot (v + w) \ &= lVert v Vert ^ 2 + 2v cdot w + lVert w Vert^2 \ &leq lVert v Vert ^ 2 + 2|v cdot w| + lVert w Vert^2 \ &leq lVert v Vert ^ 2 + 2lVert v Vert cdot lVert w Vert + lVert w Vert^2 \ &= (lVert v + w Vert)^2 end{aligned} ]

等号成立当且仅当(v cdot w = lVert v Vert cdot lVert w Vert)，这等价于(v, w)之一是另一个向量的非负倍数。