求两个有序序列合并成新有序序列的中位数，求第k小数

此算法涉及一个重要数学结论：如果A[k/2-1]<B[k/2-1]，那么A[0]~A[k/2-1]一定在第k小的数的序列当中，可以用反证法证明。

算法思想如下：

1，假设A长度为m，B长度为n，m>n，反之亦然。

2，拆分k=pa+pb。

3，如果A[pa-1]<b[pb-1]，那证明第A[0]~A[pa-1]一定在合并后k小数序列中。所以，可以把A的前面pa个数字截掉，递归，同理砍掉B数组。

4，递归的边界条件是if m=0，返回B[k-1]，如果k = 1（找第一个数）就返回min[A[1],B[1])。

C++代码

double findKth(int a[], int m, int b[], int n, int k)
{
    //always assume that m is equal or smaller than n
    if (m > n)
        return findKth(b, n, a, m, k);
    if (m == 0)
        return b[k - 1];
    if (k == 1)
        return min(a[0], b[0]);
    //divide k into two parts
    int pa = min(k / 2, m), pb = k - pa;
    if (a[pa - 1] < b[pb - 1])
        return findKth(a + pa, m - pa, b, n, k - pa);
    else if (a[pa - 1] > b[pb - 1])
        return findKth(a, m, b + pb, n - pb, k - pb);
    else
        return a[pa - 1];
}

class Solution
{
public:
    double findMedianSortedArrays(int A[], int m, int B[], int n)
    {
        int total = m + n;
        if (total & 0x1)
            return findKth(A, m, B, n, total / 2 + 1);
        else
            return (findKth(A, m, B, n, total / 2)
                    + findKth(A, m, B, n, total / 2 + 1)) / 2;
    }
};

Java代码

import java.util.Arrays;


public class FindMedianNumber {
        public double findKth(int[] nums1, int[] nums2, int k)
        {
            int m = nums1.length;
            int n = nums2.length;
            if(m > n)
            {
                return findKth(nums2, nums1, k);
            }
            if(m==0)
            {
                return nums2[k-1];
            }
            if(k==1)
            {
                return Math.min(nums1[0], nums2[0]);
            }
            //拆分k
            int pa = Math.min(m, k/2), pb = k - pa;
            if(nums1[pa-1]<nums2[pb-1])
            {
                int[] nums = Arrays.copyOfRange(nums1, pa, m);//pa小于m
                return findKth(nums,nums2,k-pa);
            }
            else if(nums1[pa-1] > nums2[pb-1])
            {
                int[] nums = Arrays.copyOfRange(nums2, pb, n);
                return findKth(nums1, nums, k-pb);
            }
            else
                return nums1[pa-1];
        }
        public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
            int total = nums1.length+nums2.length;
            int k = total/2;
            if(total%2==1)
                return findKth(nums1, nums2, k+1);//注意是第k+1个数
            else
                return (findKth(nums1, nums2, k)+findKth(nums1, nums2, k+1))/2;
        }
        
        public static void main(String[] args)
        {
            int[] nums1 = {1};
            int[] nums2 = {2,3};
            FindMedianNumber fn = new FindMedianNumber();
            System.out.println(fn.findMedianSortedArrays(nums1, nums2));
        }
}