糖果传递问题和仓库运输问题

1、糖果传递问题：

老师准备了一堆糖果，恰好n个小朋友可以分到数目一样多的糖果．老师要n个小朋友去拿糖果，然后围着圆桌坐好，第1个小朋友的左边是第n个小朋友其他第i个小朋友左边是第i-1个小朋友。大家坐好后，老师发现，有些小朋友抢了很多的糖果，有的小朋友只得到了一点点糖果，甚至一颗也没有，设第ai个小朋友有ai颗糖果．小朋友们可以选择将一些糖果给他左边的或者右边的小朋友，通过”糖果传递”最后使得每个小朋友得到的糖果数是一样多的，假设一颗糖果从一个小朋友传给另一个小朋友的代价是1，问怎样传递使得所耗的总代最小。

这道题完全是数学方法，

设第i个小朋友分给第i-1个小朋友的糖果数为Pi(注意, Pi可正可负, 负数理解成为第i-1个小朋友分给第i个小朋友-Pi个糖果),P1为第一个小朋友分给第n个小朋友的, 显然最后的答案就是要求|P1|+|P2|+..+|Pn|的最小值.

而我们的最终目的是，将Pi全部用P1表示。

设ave为最终每个人拿到的糖果数目，也就是平均数。

则 avei=a[i]+P[i+1]-P[i]

设 w[i]=avei-a[i] 则变成 w[i]=P[i+1]-P[i]

设 s[i]=w[1]+w[2]+…+w[i]则 P[i]=P[1]+s[i-1]

   |P1|+|P2|+..+|Pn| = |P1|+|P1+s[1]|+..+|P1+s[n-1]|

设 Q=-P1

则原式变为|0-Q|+|s[1]-Q|+..+|s[n-1]-Q|

这个式子可以看成求 0，s[1],s[2]…s[n-1]到 Q的 最短距离之和，这个数列的中位数就是Q值。

摘自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_75683c7f0100q4va.html

2、仓库运输问题

(2013阿里实习笔试) 有一个淘宝卖家，他在全国有n个仓库，这n个仓库正好构成一个环形，如下图一所示，开始他所有仓库的货物数是不等的，现在他想让所有仓库的货物数都相等，如何运输使总的运输成本最低（成本=运货量*路程），其中一次运输只能在两个相邻的仓库之间发生。试设计算法。

参考代码：

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int X = 1000005;
typedef long long ll;
ll sum[X],a[X];
ll n;
ll Abs(ll x){
    return max(x,-x);
}
int main(){
    //freopen("sum.in","r",stdin);
    while(cin>>n){
        ll x;
        ll tot = 0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%lld",&a[i]);
            tot += a[i];
        }
        ll ave = tot/n;
        for(int i=1;i<n;i++)
            sum[i] = a[i]+sum[i-1]-ave;
        sort(sum+1,sum+n);
        ll mid = sum[n/2];
        ll ans = Abs(mid);
        for(int i=1;i<n;i++)
            ans += Abs(sum[i]-mid);
        cout<<ans<<endl;//此处ans的值是总的运输代价。
    }
    return 0;
}

排序算法可以考虑基数排序，使得在线性时间找到中位数。要获取具体的运输方案，需要另开辟一个存储空间存储排序前的sum值。获取mid值之后再通过sum[i]推得每个仓库执行的运输操作。
摘自：http://blog.csdn.net/l03071344/article/details/8891213

相关的：均分纸牌问题

[问题描述]
　　有 N 堆纸牌，编号分别为 1，2，…, N。每堆上有若干张，但纸牌总数必为 N 的倍数。可以在任一堆上取若于张纸牌，然后移动。
　　移牌规则为：在编号为 1 堆上取的纸牌，只能移到编号为 2 的堆上；在编号为 N 的堆上取的纸牌，只能移到编号为 N-1 的堆上；其他堆上取的纸牌，可以移到相邻左边或右边的堆上。
　　现在要求找出一种移动方法，用最少的移动次数使每堆上纸牌数都一样多。
　　例如 N=4，4 堆纸牌数分别为：
　　①　9　②　8　③　17　④　6
　　移动3次可达到目的：
　　从 ③ 取 4 张牌放到 ④ （9 8 13 10） -> 从 ③ 取 3 张牌放到 ②（9 11 10 10）-> 从 ② 取 1 张牌放到①（10 10 10 10）。
[输 入]：
　　键盘输入文件名。文件格式：
　　N（N 堆纸牌，1 <= N <= 100）
　　A1 A2 … An （N 堆纸牌，每堆纸牌初始数，l<= Ai <=10000）
[输 出]：
　　输出至屏幕。格式为：
　　所有堆均达到相等时的最少移动次数。‘
[输入输出样例]
a.in：
　4
　9 8 17 6

屏慕显示：
　3

本题解法和分析在这里就不贴了，参见点击打开链接

在做阿里笔试题的时候，有思路但最终不能深入分析得出结论，要提高数学分析能力。