CF438D The Child and Sequence

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一、题目大意

给你一个序列，你要在这个序列上进行操作。

• 操作\(1\)
  给定区间\([l,r]\)，对序列中这个区间中每个数字累加求和。

• 操作\(2\)
  给定区间\([l,r]\) 和 \(x\),对区间每个数字对\(x\)取模。

• 操作\(3\)
  给定两个数\(i,k\)，将\(a[i]\)的值修改为\(k\)。

二、思路

注意到\(m = 1e5\)，所以整体时间复杂度\(O(nlog n)\)，也就是说你的所有操作时间复杂度不超过\(O(log n)\)才过通过这个题。

注意到区间求和，单点操作用线段树都可以在\(O(log n)\)做到，唯一有难度的就是操作对区间所有数取模。

首先考虑一个小小的剪枝，如果某个区间里面的最大数都\(<x\)，那么这个区间不用管了，也就是说对于区间内的每个数\(x\)，对它取模，这个数至少会减低\(x/2\)，那么我们每次对这个数进行取模，这个数到\(0\)的时间复杂度也无非就是\(O(logx)\)，所以整体时间复杂度\(O(mlogmlogx)\)，带两个\(log\)是可以过这道题的。

三、实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

//宏定义左右儿子
#define ls u << 1
#define rs (u << 1) | 1

int n, m;
typedef long long LL;
const int N = 1e5 + 10;
int a[N];

struct Node {
    int l, r;
    LL sum, max;
} tr[N << 2];

void pushup(int u) {
    tr[u].sum = tr[ls].sum + tr[rs].sum;     //更新父节点的区间和
    tr[u].max = max(tr[ls].max, tr[rs].max); //更新父节点的区间最大值
}
void build(int u, int l, int r) {
    tr[u] = {l, r};
    if (l == r) {
        //要重视这个初始值赋值！！！
        //注意:这里是a[l]或a[r],可不是a[u],u是在线段树中的节点号，与原数字是不直接相关的，是辅助性的东西.
        //而l,r在叶子节点时，l=r,比如[2,2],其实就是第2个输入的值a[2]
        tr[u].max = tr[u].sum = a[l]; //叶子的话，最大值，区间和都是一个，即a[l]
        return;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    build(ls, l, mid), build(rs, mid + 1, r);

    //因为有初始值赋值操作，需要向父节点汇集信息
    pushup(u);
}
//单点修改
void modify(int u, int x, int v) {
    //不在管理范围的修改直接返回
    if (tr[u].l > x || tr[u].r < x) return;
    //叶子节点命中
    if (tr[u].l == tr[u].r) {
        tr[u].sum = tr[u].max = v;
        return;
    }
    //不管在左还是在右，全都进行修改，递推函数第一句会把不对的位置剔除掉
    modify(ls, x, v), modify(rs, x, v);
    //子节点信息修改，需要更新父节点信息
    pushup(u);
}

//区间取模
void modify(int u, int l, int r, int x) {
    //不在管理范围的修改直接返回
    if (tr[u].l > r || tr[u].r < l) return;
    if (tr[u].max < x) return; //减枝 最大值都比x小，取一遍模的话，原来的数字也不能变
    if (tr[u].l == tr[u].r) {
        tr[u].sum %= x;        //暴力取模，每个叶子节点对x取模
        tr[u].max = tr[u].sum; //最大值肯定也变小了，因为是叶子节点，最大值就是本身
        return;
    }
    //左改改，右改改
    modify(ls, l, r, x), modify(rs, l, r, x);
    //区间改完，需要向父节点推送统计信息
    pushup(u);
}

//查询区间和
LL query(int u, int l, int r) {
    //不在管理范围的修改直接返回
    if (tr[u].l > r || tr[u].r < l) return 0;
    //区间完全命中，返回结果
    if (tr[u].l >= l && tr[u].r <= r) return tr[u].sum;
    //返回左右子树的查询结果
    return query(ls, l, r) + query(rs, l, r);
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    //构建线段树
    build(1, 1, n);

    int l, r, k, x;
    while (m--) {
        int op;
        scanf("%d", &op);
        if (op == 1) {
            scanf("%d%d", &l, &r);
            printf("%lld\n", query(1, l, r)); //查询区间和
        }
        if (op == 2) {
            scanf("%d%d%d", &l, &r, &x);
            modify(1, l, r, x); // 区间中每个数字 % x
        }
        if (op == 3) {
            scanf("%d%d", &k, &x);
            modify(1, k, x); //单点修改第k个位置，值为x
        }
    }
    return 0;
}