定理
若 (p) 为素数，得：
[large (p-1)! equiv -1 pmod{p}
]
(p) 为素数和威尔逊定理互为充分必要条件，即威尔逊定理可以用来判定一个数是否为素数。
证明
先同除 (-1)，即证明：
[large (p-2)! equiv 1 pmod{p}
]
即可。
当 (p=2) 时显然成立。当 (p ot = 2) 时，(p) 为奇数，所以不考虑 (1) 时，((p-2)!) 为偶数个数连乘。考虑到 (1) 和 (p-1) 的逆元都是其本身，所以 (2,3,dots,p-3,p-2) 这偶数个数中每个数的逆元都在里面出现了，所以这些数可以两两配对乘起来得 (1)。